曲率圓

曲率圓，又稱密切圓。在曲線上一點M的的法線上，在凹的一側取一點D ，使DM等於該點處的曲率半徑，以D為圓心，DM為半徑作圓，這個圓叫做曲線在點處的曲率圓。在點M附近，曲率圓弧與曲線弧密切程度非常好，所以曲率圓又叫密切圓。

基本介紹

• 中文名：曲率圓
• 外文名：curvature circle
• 別稱：密切圓
• 套用領域：解析幾何
• 位置和大小：曲率中心與曲率半徑
• 作用：切點附近用圓弧代替曲線弧

定義

設曲線在點處的曲率為，在點處曲線的法線上凹的一側取一點，使得，以為圓心，為半徑做圓，這個圓就叫做曲線在點處的曲率圓，曲率圓的圓心叫做曲線在點處的曲率中心，曲率圓的半徑叫做曲線在點處的曲率半徑。

曲率圓與曲線在點有相同的切線和凹向以及相同的曲率，因而在點附近，曲率圓弧與曲線弧密切程度非常好，所以曲率圓又叫密切圓。在實際問題中，常常用曲率圓在點鄰近的一段圓弧來近似地代替曲線弧，使問題簡化。

性質

①曲率圓過點，且在點與曲線相切，即曲率圓與曲線在點有相同的切線。

②在點附近與曲線有相同的凹向。

③曲率圓的曲率與曲線在點的曲率相等。

位置和大小

曲率中心

曲率中心確定曲率圓的位置。

設函式在點處二階可導，且，曲線在點處的曲率中心為，則：

其中，。

曲率半徑

曲率半徑確定曲率圓的大小。曲率半徑的大小是曲率的倒數，即：