克魯爾維數

克魯爾維數(Krull dimension)是決定環結構的一個參數，對賦值環的研究有重要意義。

基本介紹

• 中文名：克魯爾維數
• 外文名：Krull dimension
• 所屬學科：環論
• 相關概念：素理想、理想的高、諾特環等
• 釋義：決定環結構的一個參數

拓撲空間的維數

設為拓撲空間X的所有不可約閉子集的集合。則X的克魯爾維數定義為

交換麼環的維數

設R為交換麼環。則R的克魯爾維數定義為

性質

交換麼環R中所有素理想的高的上確界等於R的維數。

相關概念

設是交換麼環R的素理想，則素理想列的長度的上確界稱為的高，記為。對任一理想稱為的高。

簡介

克魯爾維數是決定環結構的一個參數，對賦值環的研究有重要意義。在代數幾何史上，維數的定義經歷了三個階段：最早是按流形的定義，即局部解析同構於n維單位球的流形為n維；到上個世紀末，德國學派將代數集的維數定義為函式域(在常數域上) 的超越次數；而20世紀40年代至今採用克魯爾維數，即函式環中素理想列的高的上確界，每個新定義都和原來的一致，但適用範圍更廣。

例子

如果R是整環，則若且唯若R是域；

整數環的維數為1；

阿廷環就是0維諾特環；

戴德金整環就是1維整閉諾特整環。

性質

克魯爾主理想定理：設R為諾特環，，f不是零因子也不是單位，則包含f的每個極小素理想的高均為1。

設Y為仿射簇，則Y的維數等於其仿射坐標環A(Y)的維數。

仿射空間的維數等於n。

若Y是擬仿射簇，則。

顯然且對任一理想有

對任意有。

如果R是諾特環，則若且唯若每個有限生成R-模M都有合成列。