戴德金整環

戴德金整環(Dedekind domain)是一維諾特整閉整環。在戴德金整環R中每個準素理想均為素理想的冪,從而每個非零理想均可惟一(不計因子次序)地表示為有限個素理想的積。由庫默爾(Kummer,E.E.)開創,戴德金(Dedekind,(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環的理論已十分完整。

基本介紹

  • 中文名:戴德金整環
  • 外文名:Dedekind domain
  • 領域:數學
  • 性質:一維諾特整閉整環
  • 必要條件:R是諾特環
  • 重要人物:戴德金、庫默爾
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概念

戴德金整環(Dedekind domain)是一維諾特整閉整環。整環R稱為戴德金整環。若滿足以下三個條件:
1.R是諾特環.
2.R在其商域中整閉.
3.dim R=1(其中dim表示克魯爾維數),也即R不是域且非零素理想均為極大理想.
在戴德金整環R中每個準素理想均為素理想的冪,從而每個非零理想均可惟一(不計因子次序)地表示為有限個素理想的積。由庫默爾(Kummer,E.E.)開創,戴德金(Dedekind,(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環的理論已十分完整,但有些重要的諾特環,例如,域F和整數環Z上多項式環F[x1,x2,…,xn],Z[x1,x2,…,xn]均非戴德金整環。

環是對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集:
的全體構成的集類,則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

整環

非退化為{0}且沒有0因子的交換環稱為整環。
環Z是整環。設n為非零自然數;為使環Z/nZ為整環,必須且只須n是素數。 任一交換體是整環對任一整環A,係數取自A中含一個未定元的全體多項式之環A[X],係數取自A中的全體形式級數之環A[[X]]都是整環。 由此推知,係數取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環K[X1,X2,…,Xp]及含p個未定元的全體形式級數之環K[[X1,X2,…,Xp]]都是整環。

諾特環

設R是一個有單位元的交換環,如果R的每個理想鏈I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整數n,使得對任何i≥n,Ii=In,則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環,R的理想Q稱為準素理想,如果Q≠R,對任意的a,b∈R,若ab∈Q,a∉Q,則必存在正整數n,使得b∈Q。設I是交換環R的理想,I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交,記作或radI。準素理想的根是一個素理想,這個素理想稱為與Q結合的素理想,或Q是屬於這個素理想的準素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解,如果I=Qi∩…∩Qn,其中Qi,i=1,…,n都是準素理想。如果每個Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn,而且Qi的根互不相同,則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環若且唯若R的每個理想是有限生成的,若且唯若R滿足理想的極大條件:對R的任一個理想的非空族{Iλ},其中必存在極大元I,即若J∈ {Iλ},I⫅J,則I=J。含麼交換環是諾特環若且唯若每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I,I≠R,有準素分解,而且若I=A1∩…∩An,I=B1∩…∩Bm是兩個既約準素分解,其中Ai是屬於Pi的準素理想,Bj是屬於Qj的準素理想,則n=m,而且適當重排順序後,Pi=Qi。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集,如果對任何a,b∈S,ab∈S。設S是交換環R的一個乘閉子集,在集合R×S上定義一個關係~: (r,s) ~ (r′,s′),如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0,這個關係是一個等價關係,(r,s)所在等價類記作r/s,R×S的全體等價類做成的集合記作SR,在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環,如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環,P是R的素理想,令S=R\P,則S是R的乘閉子集,分式環SR是一個局部環,稱為R在P處的局部化,記作Rp。設S是諾特環R的乘閉子集,則SR也是諾特環。設R是—個諾特環,R[x1,…,xn]是R上文字x1,…,xn的多項式全體做成的環,則R[x1,…,xn]也是諾特環,這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環,R[[x]]是R上文字x的形式冪級數全體做成的環,則R[[x]]也是諾特環。

人物簡介——戴德金

德國數學家。生於不倫瑞克,卒於同地。早年在哥廷根大學求學,是高斯的得意門生。1852年獲博士學位。1854年留校任教,與狄利克雷黎曼結為好友。1858—1862年應邀任瑞士蘇黎世綜合工科學校教授。1862年返回家鄉,在不倫瑞克綜合工科學校執教,直至逝世。戴德金是哥廷根、柏林、巴黎、羅馬等科學院的成員,還被歐洲幾所大學授予榮譽博士稱號。其主要貢獻在實數理論和代數數論方面。他注意到當時的微積分學實際上還缺乏嚴密的邏輯基礎,對無理數還沒有嚴密的分析和論證,因而提出用所謂“戴德金分割”來定義無理數,並對連續性理論進行深入研究,為實數理論的建立做出了不可磨滅的貢獻。1872年,他的《連續性與無理數》出版,使他與G.康托爾、外爾斯特拉斯等人成為現代實數理論的奠基人。在代數數論方面,他建立了現代代數數和代數數域的理論。他的代數數理論是高斯的復整數和庫默爾代數數的一般化,後來他又用另一種方法重建代數數中的唯一因子分解定理。他深入研究各種代數結構,特別引入環的概念,給出理想子環的一般定義,後來把滿足理想唯一分解條件的整環稱作戴德金環。他在代數數論方面的工作對19世紀數學產生了深遠影響。他的著作還有《數的意義》(1888)等。他還編輯出版了狄利克雷和黎曼的全集。

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