基本介紹
- 中文名：交換環類群
- 外文名：class group of a commutativering
- 領域：代數
- 別稱：理想類群
- 定義：刻畫環性質的阿貝爾群
- 套用：代數K理論和代數數論
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概念介紹
交換環類群(class group of a commutativering)亦稱理想類群。刻畫環性質的一種阿貝爾群。在代數K理論與代數數論中有重要套用。是衡量戴德金環與主理想整環相距程度的群。設G(R)是戴德金環R的全部分式理想所構成的群，P(R)是主分式理想群。它們都是交換群且P(R)是G(R)的子群，其商群G(R)/P(R)=I(R)稱為R的理想類群。R的每個分式理想a在I(R)中的像稱為a所在的理想類。於是，兩個分式理想a，b同屬於一個理想類若且唯若在R的商域K中存在非零元素d使a=(d)b。所以，I(R)是一階群，若且唯若P(R)=G(R)；又若且唯若R的每個整理想均為主理想；又若且唯若R為主理想整環。
交換環類群是數域的分式理想群按主理想子群分類所形成的群。數域K的兩個分式理想A和B稱為等價的，指存在α∈K使A=αB.K的分式理想等價類全體構成的乘法群H(K)即稱為K的理想類群。換句話說，H(K)=I/I*，式中I為K的分式理想群，I*為主理想子群。H(K)的階h(K)是有限數，稱為K的理想類數或類數。K為主理想域(即K的整數環為主理想環)若且唯若h(K)=1。類群和類數是數域的重要數論特徵和研究對象。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
阿貝爾群
阿貝爾群亦稱交換群。是一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
理想
理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I;
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;
則稱I為B上的理想。
環
一個環是一個集合R，其中有兩個合成運算，叫作加法和乘法，對有序對a，b，a，b∈R，其結果分別用a+b和ab表示，這兩個合成法則滿足：(1)a+b及ab屬於R(閉合);(2)a + b=b + a(交換律);(3) (a+b) + c=a+ (b + c)(結合律);(4)在R中有一個元0叫零元，對R中任意a，適合a + 0 = 0 +a;(5)對R中任意元a，在R中有一個a的負元—a，適合a+ (—a)=0;(6)(ab)c= a(bc);(7)a(b + c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca(分配律)，滿足以上條件的代數系即叫環，環論研究的就是具有這些性質的代數系。環論概括了數學各分支中很多基本的特例，如它包括整數環、有理數環、實數環、複數環和各種不同的函式和矩陣環等。環是現代代數中重要概念，其理論和方法在數學許多分支中都有套用。
戴德金環
戴德金環是理想可以惟一素分解的環。最重要的例子是：數域的整數環、光滑曲線的坐標環。按定義，滿足下述三條件的整環R稱為戴德金環：
1.R是諾特環.
2.R的真素理想均為極大理想.
3.R在其商域F(≠R)中是整閉的.
事實上，對每個戴德金環R及其商域F，總存在F的離散素除子集S使{F，S}為普通算術域而R為S整數環。整環R(≠其商域F)為戴德金環若且唯若其每個真理想均為極大理想的積；也等價於其每個分式理想均可逆，即分式理想全體構成群。戴德金環R在其商域F的有限可分擴張E中的整閉包RE也為戴德金環，且E是RE的商域。
