克魯爾環

克魯爾環（Krull ring）以克魯爾命名的一類重要的整環，戴德金整環、一般的整閉諾特整環都是克魯爾環。

基本介紹

• 中文名：克魯爾環
• 外文名：Krull ring
• 領域：數學
• 適用領域：環論

諾特環

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變數理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

定義

一個環 稱作諾特環，若且唯若對每個由 的理想構成的升鏈 ，必存在 ，使得對所有的 都有 （換言之，此升鏈將會固定）。

另外一種等價的定義是： 的每個理想都是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。 是左（右）諾特環若且唯若 在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

基本性質

若 是諾特環，則其直積 亦然。

若 是諾特環， 是任一理想，則其商環 亦然。

若 是諾特環，則其上的多項式環 及冪級數環 都是諾特環。

若 是交換諾特環，則其對任一積性子集 的局部化也是諾特環。

若 是交換環， 為一有限生成理想，且 是諾特環，則其完備化 也是諾特環。

一個左（右）阿廷環必定是左（右）諾特環。

戴德金整環

在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理之闕如而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。

定義

戴德金整環指的是有乘法單位元素，並具備下述性質的交換諾特整環：不是域，的非零素理想皆為極大理想，整閉。

前兩條可合併為：之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下：對任意極大理想之局部化為離散賦值環。的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想，存在的分式環中的有限生成-子模，使得。

唯一分解性質

戴德金整環的分式理想定義為分式環中形如之-子模，其中而是中的理想。分式理想之間可以定義乘法，因而非零分式理想構成一個么半群，其單位元素為。戴德金整環的性質保證此結構是一個群，換言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想可由某元素生成，則稱之主理想；可采類似辦法定義主分式理想。

此外，戴德金整環中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想可唯一地表成

其中過有限個的素理想，。是理想若且唯若。