基本介紹
簡介,內容,定義,極限與連續性,複變函數的導數,
簡介
複變函數論產生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
複變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。
為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯了。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加萊、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。
內容
如果當函式的變數取某一定值的時候，函式就有一個唯一確定的值，那么這個函式解就叫做單值解析函式，多項式就是這樣的函式。
把單值解析函式的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函式叫做廣義解析函式。廣義解析函式所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函式的一些基本性質，只要稍加改變後，同樣適用於廣義解析函式。廣義解析函式的套用範圍很廣泛，不但套用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在套用。因此，這些年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起，複變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被套用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，並將取得更多套用。
複變函數的主要研究對象是解析函式，包括單值函式、多值函式以及幾何理論三大部分。在悠久的歷史進程中，經過許多學者的努力，使得複變函數論獲得了巨大發展，並且形成了一些專門的研究領域。
單值函式中最基本的兩類函式是整函式和亞純函式，它們分別是多項式和有理函式的發展。外爾斯特拉斯將多項式的因式分解定理推廣到整函式，而G.米塔-列夫勒則將有理函式分解為部分分式的定理推廣到亞純函式。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波萊爾等進一步發現了整函式的取值與多項式的取值之間有著很大的相似性。在此基礎上，1925年R.奈望林納建立了亞純函式值分布的近代理論，對函式論的發展產生了重要影響。它和複變函數論的其他領域也存在著密切聯繫。例如，1973年A.伯恩斯坦套用實變函式的思想引進T^*函式，它在值分布論的虧量問題、整函式的最小模問題以及單葉函式的研究中都發揮了顯著效用。
關於多值函式的研究主要是圍繞著黎曼曲面及單值化的問題來進行的。1913年（C.H.）H.外爾在其經典著作《黎曼曲面概念》中首先給出了抽象黎曼曲面的定義，它是流形這個現代數學基本概念的雛形。黎曼曲面的研究不僅使自身形成了完美的理論，而且它為代數幾何、自守函式、複流形、代數數論等近代數學重要分支的研究提供了簡單、明了的模型。
在複變函數的套用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通過共形映射研究繞機翼的流動便是著名的例子。實際套用中，常常要藉助近似方法具體地構造出映射函式。這方面有不少研究工作。當然，有時並不需要知道具體的映射函式，只是套用其幾何性質。這就推動了複變函數幾何理論的發展。
單葉函式的研究是複變函數幾何理論的一個重要組成部分，特別是1916年L.比伯巴赫提出的單位圓內形如式(4)的單葉解析函式應有 |αn|≤n的猜測引起了許多學者的注意。近70年來，圍繞著比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，布朗基才完全證實了這個猜想。證明中主要套用了萊伯德－米林的工作，C.勒夫納的參數表示法以及關於雅可比多項式的結果。
柯西－黎曼方程表明了解析函式與橢圓型偏微分方程組之間的聯繫，20世紀50年代以來L.伯斯，И.Η.韋夸等考慮較為一般的橢圓型偏微分方程組，並引入廣義解析函式的概念。解析函式決定的映射為共形映射，它把無窮小圓映為無窮小圓；而廣義解析函式則決定了擬共形映射，它把無窮小圓映為無窮小橢圓。L.V.阿爾福斯，М.Α.拉夫連季耶夫為擬共形映射的理論奠定了基礎。
解析函式雖然在區域內部有很好的性質，但是當自變數z趨向於邊界時，函式的變化情況常常十分複雜。關於這方面的研究就形成了一個專門的領域，稱為解析函式邊界性質。經典的結果有法圖定理，Η.Η.盧津和И.И.普里瓦洛夫在這方面也有系統的研究。出現了聚集合的概念，進一步將研究引向深入。
複變函數論在套用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
定義
複變函數是復值函式的簡稱。
設A是一個複數集，如果對A中的任一複數z，通過一個確定的規則有一個或若干個複數w與之對應，就說在複數集A上定義了一個複變函數，記為
w=ƒ(z)
這個記號表示，ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。
如果記z=x+iy,w=u+iv，那么複變函數w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一個複變函數w=ƒ(z)就對應著一對兩個實變數的實值函式。
除非有特殊的說明，函式一般指單值函式，即對A中的每一z，有且僅有一個w與之對應。例如，f(z)=
是複平面上的複變函數。但f(z)=
在複平面上並非單值，而是多值函式。對這種多值函式要有特殊的處理方法（見解析開拓、黎曼曲面）。
對於z∈A,ƒ(z)的全體所成的數集稱為A關於ƒ的像，記為ƒ(A)。函式ƒ規定了A與ƒ(A)之間的一個映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應；如果ƒ(A)∈A*，稱ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，則稱ƒ把A映成A*，此時稱A為A*的原像。對於把A映成A*的映射ƒ，如果z1與z2相異必導致ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對一的。在一對一的映射下，對A*上的任一w，A上必有一個z與之對應，稱此映射為ƒ的反函式，記為
z=ƒ-1(w)
設ƒ(z)是A上的複變函數，α是A中一點。如果對任一正數ε，都有正數δ，當z∈A且|z-α|<δ時，|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恆成立，則稱ƒ(z)在α處是連續的，如果在A上處處連續，則稱為A上的連續函式或連續映射。設ƒ是緊集A上的連續函式，則對任一正數ε，必存在不依賴自變數z的正數δ，當z1，z2∈A且|z1-z2<δ時|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恆成立。這個性質稱為ƒ(z)在A上的一致連續性或均勻連續性。
設ƒ(z)是平面開集D內的複變函數。對於z∈D，如果極限存在且有限，則稱ƒ(z)在z處是可導的，此極限值稱為ƒ(z)在z處的導數，記為ƒ'(z)。這是實變函式導數概念的推廣，但複變函數導數的存在卻蘊含著豐富的內容。這是因為z+h是z的二維鄰域內的任意一點，極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。一個複變函數如在z的某一鄰域內處處有導數，則該函式必在z處有高階導數，而且可以展成一個收斂的冪級數（見解析函式）。所以複變函數導數的存在，對函式本身的結構有重大影響，而這些結果的研究，構成了一門學科──複變函數論。
極限與連續性
設函式 w = f(z) 在集 E 上確定，z0 為 E 之聚點，α 為一復常數。 如果 ∀ε0，∃δ > 0， 當 z ∈ E 且 
時，有
則稱當 z 趨於 z0 時，f(z) 有極限 α，記作
複變函數的導數
設 f(z) 是在區域 D 內確定的單值函式，並且 z0 ∈ D，如果
存在且等於有限複數 α，則稱f(z) 在 z0 點可導或者可微，或稱有導數 α，記作 f’(z0)。
