解析函式論

解析函式論

解析函式論(analytic function theory)是複變函數論的主要研究對象,如果說以測度為基礎的實變函式論是研究那些性質不大“好”的函式的話,那么,解析函式論則是研究那些性質非常“好”的函式。解析函式論的理論基礎是19世紀奠定的,柯西(A.-L.Cauchy)、外爾斯特拉斯(K.(T.W.Weierstrass))和黎曼((G.F.)B.Riemann)是這一時期的三位傑出人物,前兩位分別套用積分和級數研究複變函數,黎曼則研究了複變函數的映射性質。到20世紀,解析函式論已成為數學的重要分支之一,它的領域不斷擴大,逐步發展成了一門龐大的學科,除了解析函式論的基本理論之外,還有黎曼面、共形映射、擬共形映射、泰希米勒空間理論、整函式與亞純函式論、特殊函式論、調和函式論、單葉函式、Hp空間理論、代數函式、多複變函數等.另外,這門學科對其他學科如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等,以及數學中其他分支如微分方程、積分方程、機率論、數論等,都有重要的套用。

基本介紹

  • 中文名:解析函式論
  • 外文名:analytic function theory
  • 所屬學科:數學
  • 相關概念:解析函式,複變函數等
  • 奠基者:卡爾·魏爾斯特拉斯
  • 重要任務:柯西、外爾斯特拉斯和黎曼
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主要內容

解析函式論的主要內容有複數複變函數(複數表示法及其代數運算、序列極限及無窮大、複變函數的極限與連續性、複函數的導數與微分、複函數的積分、複變函數項級數等)、復變初等函式(有理函式指數函式三角函式雙曲函式、根式函式、對數函式、一般冪函式與一般指數函式、反三角函式與反雙曲函式等)、解析函式的基本特徵、解析函式的重要性質、留數理論及其套用、解析開拓、單葉解析映照、複變函數方法在邊值問題中的套用。

複變函數

複變函數(function of a complex variable)是實變函式的推廣,自變數和因變數均為復值的函式稱為複變函數。設E為一複數集,若按照某一規律,E內每一複數z都有一確定的複數w與之對應,則稱在E上確定了一單值複變函數w=f(z)(z∈E),若對於自變數z的一個值,可能有幾個或無窮多個w的值與之對應,則稱在E上確定了一個多值複變函數w=f(z)(z∈E),E稱為該函式的定義域;函式值w的全體所成的集M稱為函式w=f(z)的值域。

解析函式

解析函式(analytic function)亦稱全純函式或正則函式,是解析函式論的主要研究對象,對於定義於複平面上區域D內的復變數z的單值函式f(z),如果它在D內的每個點z0的一個鄰域內都可以用z-z0的冪級數表示,則稱f(z)在D內解析,外爾斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))從冪級數出發,建立了解析函式的級數理論。如果在D內的每個點z處,極限
(稱為函式f(z)在z點的導數)都存在,柯西(Cauchy,A.-L.)稱f(z)在D內是解析的,這兩個定義是等價的,函式
在D內解析的另一個等價條件是:
在D內的每一個點
處存在連續偏導數,並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件):
這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件。函式f(z)在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理(參見“莫雷拉定理”)。

奠基人——魏爾斯特拉斯

卡爾·魏爾斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897),德國傑出數學家,數學分析算術化的完成者,解析函式論的奠基人,在解析函式、橢圓函式、代數領域、變分學、微分幾何、數學分析等方面,他都取得了卓越成就。
魏爾斯特拉斯1815年出生在德國西部的一個小村莊,他的父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國僱傭的海關職員,威廉在家裡十分嚴厲而且專斷。14歲時,卡爾進入一所天主教預科學校,在那裡學習德語、拉丁語、希臘語和數學,從預科學校剛畢業,不容卡爾有半句分辯,父親就把他送到波恩大學學習法律和商業,希望他將來在普魯士民政部當一名文官,卡爾對法律和商業毫無興趣,在波恩大學,他把相當一部分時間用在數學上,他和阿貝爾一樣,“直接向大師們而不是向他們的學生學習”,他常常獨自鑽研拉普拉斯的《天體力學》、雅可比的《橢圓函式新理論基礎》等著作。
大學四年,卡爾沒有得到他父親所希望的法律博士學位,連碩士學位也沒有得到。1839年,卡爾被送到蒙斯特學院學習,在那裡,卡爾遇到一位不可多得的良師——古德曼,古德曼指導他完成了把橢圓函式表示成冪級數的商的結果,這是橢圓函式理論的一個重要發現。
1841年,卡爾取得了教師正式證書.26歲的他從此開始了長達15年的中學教書生涯,其中包括30歲到40歲這一段通常被認為是科學發明創造的黃金歲月。1842年,卡爾到普魯士一所大學預科學校預備班任數學和物理的助理教師,不久晉升為正式教師,除了數學和物理,他還教德文、地理、書法和體操。白天,他忙著上課、批改作業,一到晚上,他就關上房門,點起蠟燭,通宵達旦地在數學之宮神遊,攻讀研究阿貝爾等人的數學著作,並寫了許多論文。1853年,卡爾將一篇關於阿貝爾函式的論文寄給了德國數學家克列爾主辦的《純粹與套用數學雜誌》,隨即引起了轟動,他也因此獲得博士學位。1856年,卡爾被任命為柏林工業大學數學教授,同年被選為柏林科學院院士,後來他又轉到柏林大學任教授,晚年享有很高的聲譽,幾乎被看成是德意志的民族英雄。
魏爾斯特拉斯還是一位無與倫比的數學教師,他刻苦鑽研、嚴謹治學,在當中學教師的15年中,儘管教學任務繁重,工作條件很差,魏爾斯特拉斯仍堅忍不拔、孜孜不倦地鑽研數學,經常達到廢寢忘食的程度。1850年起,他患了眩暈症,常持續一小時以上,直到一陣摧人心肺的嘔吐後才見消退.這種腦痙攣症折磨了他十餘年,但他頑強地堅持教學和研究。實際上,在當中學教師的年代,他是以犧牲健康為代價從事數學研究的,他在柏林大學仍承擔巨大的教學工作負荷。1860年3月,在一次講課中他突然暈了過去,1861年底他完全病倒,在近兩年中一直未能回到科能,他就堅持上課,常常只能坐著講授,讓優秀學生書寫黑板,他善於用一種不可言傳只能意會的精神激發學生的興趣和創造欲。他講課時不誇大其辭、譁眾取寵;他關心學生,循循善誘,慷慨地指導學生論文課題,在討論班上不斷提出富有成果的想法,使之成為學生研究的主題,甚至把自己尚未發表也未留紀要的手稿借給學生。
魏爾斯特拉斯富有詩才,他曾說過,如果一個數學家不是某種程度上的詩人,他就永遠不會成為一個完整的數學家,但有點奇怪的是,不像很多數學家喜歡音樂一樣,他討厭音樂,他是天主教徒,但在宗教觀點上不走極端。
魏爾斯特拉斯品德高尚,他熱愛數學,熱愛教育事業,熱情指導學生,終身孜孜不倦,他不計個人名利,允許學生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播,而不計較功績屬誰的問題,這種高貴品德也是十分可貴的。
1897年初,魏爾斯特拉斯染上流行性感冒,後轉為肺炎,終至不治,於2月19日溘然長逝,享年82歲,數學家龍格曾高度讚揚魏爾斯特拉斯“自下而上地構築了完美的數學大廈。”這是對魏爾斯特拉斯的一個很好概括。

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