解析函式邊值問題

解析函式邊值問題是指尋求滿足一定邊界條件的解析函式的一類問題，是解析函式論在許多理論和實際問題中套用極為廣泛的一個重要分支。

基本介紹

• 中文名：解析函式邊值問題
• 外文名：Boundary value problems of analytic function
• 性質：科學
• 類別：高等數學

簡介

解析函式邊值問題是指求某些區域中的解析函式，使其在區域邊界上的極限值（也稱邊值）滿足一定條件的問題。

推廣

由於解析函式滿足柯西-黎曼條件，因此解析函式邊值問題和橢圓型偏微分方程的邊值問題密切相關。如未知數不止一個，而是一組解析函式，則又有解析函式組的邊值問題。

有時邊值條件中會出現未知函式在區域邊界點t和α(t)的邊值之間的聯繫，則稱為帶位移的邊值問題，其中α(t)是邊界到其自身的同胚映射。求解這類邊值問題的基本工具是柯西型積分和普萊姆利公式。

套用

解析函式邊值問題和廣義解析函式邊值問題在奇異積分方程方面有廣泛的套用，它們在彈性力學、流體力學方面也有重要的套用。這些方面的理論及其套用，主要是由蘇聯學者建立和發展起來的。自20世紀60年代以來，中國的數學工作者在這些方面也做了不少工作。

發展

解析函式邊值問題的一些簡單情況，早在19世紀就已有所討論，而作為函式論的一分支蓬勃發展，則是20世紀中葉的事情。特別是穆斯赫利什維利為首的蘇聯學派在這方面做出了卓越的貢獻。

中國學者從20世紀60年代起在解析函式邊值問題方面也做了不少工作。如果把柯西-黎曼條件推廣，則可引進廣義解析函式的概念，從而也有了廣義解析函式邊值問題的研究。這種研究在20世紀下半葉以來已經有了相當的規模，這其中也包括中國數學工作者的工作在內。