孤立奇點

若f(z)在z₀不解析，但在z₀的某一去心鄰域0<|z-z₀|<δ內解析，則稱z₀是f(z)的孤立奇點，根據其洛朗級數的情況，可將其分為可去奇點、(m級)極點和本性奇點。

基本介紹

• 中文名：孤立奇點
• 外文名：isolated singular point
• 學科：數學
• 分類：可去奇點;極點;本性奇點
• 分類判別：極限
• 聯繫：留數

定義

若 在 不解析，但在 的某一去心鄰域 內解析，則稱 是 的孤立奇點。

奇點分為孤立奇點和非孤立奇點。

設為的孤立奇點，在的去心鄰域內，的洛朗級數為：

根據展開式的不同情況將孤立奇點分為：

（1）可去奇點

（2）(m級)極點

（3）本性奇點

可去奇點

設為的孤立奇點，在的去心鄰域內，的洛朗級數為：

若無負冪項，，則為的可去奇點。

例如，函式在處不解析，它的洛朗展開式為：

展開式中並不含負冪項，那么 稱為可去奇點。

極點

設為的孤立奇點，在的去心鄰域內，的洛朗級數為：

若的負冪項只有m項，即

，其中，

由於在的去心鄰域內解析，故，則為的(m極)極點

例如， ， 是它的一個3級極點。

本性奇點

設為的孤立奇點，在的去心鄰域內，的洛朗級數為：

若的負冪項有無窮多項，不存在，也不是，則稱為的本性奇點。

例如，函式， 是的本性奇點。

分類判別規則

設為的孤立奇點，根據 時的極限分類：

（1）可去奇點 存在且有界

（2）極點

（3）本性奇點不存在，且不為

無窮遠處

設函式 在無窮遠點 的去心鄰域 內解析，其洛朗級數為：，令 ，則在 的去心鄰域 內解析，的洛朗級數為，則如下圖

圖1 f(z)無窮遠處的性態