可去奇點

在複分析中，一個全純函式的可去奇點（removable singularity），有時稱為裝飾性奇點（cosmetic singularity）是這樣的點，在此處函式表面上沒有定義，但是通過細緻地分析，函式的定義域可以擴大到該奇點，使得延拓後的函式仍然全純。

基本介紹

• 中文名：可去奇點
• 外文名：removable singularity
• 分類：數理科學

例子

例如函式：

對z≠ 0 有一個奇點z= 0。藉由定義f(0)=1，可將此奇點消去，並得到全純的sinc函式。

確切地，如果U是複平面C的一個開集，a是U中一點，f:U- {a} →C是一個全純函式，如果存在一個在U- {a} 與f相等的全純函式g:U→C，則a稱為f的一個可去奇點。如果這樣的g存在，我們說f在a是可全純延拓的。

黎曼定理

黎曼關於可去奇點的定理指出了何時一個奇點是可去的：

定理下列情形是等價的：

• i)f可全純延拓到a。
  

• ii)f可連續延拓到a。
  

• iii) 存在a的一個鄰域，在它上面f有界。
  

• iv) limz→a(z - a)f(z) = 0.
  

蘊含關係 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。為了證明 iv) ⇒ i)，我們首先回憶到一個函式在a的全純性等價於解析，即有一個冪級數表示。定義

則

這裡由假設(z - a)f(z)可以視為一個D上的連續函式。換句話說，h在D上全純從而有在a的泰勒級數：

所以

是f在a的全純延拓，這就證明了先前的斷言。

其它類型奇點

不像實變數函式，全純函式有足夠的剛性使得其孤立奇點可完全分類。一個全純函式的奇點要么其實不是真正的奇點，即可去奇點，要么是如下兩類居其一：

1. 受黎曼定理啟示，給定一個不可去奇點，我們可能問是否存在一個自然數m使得 limz→a(z - a)f(z) = 0。如果存在，a稱為f的一個極點，這樣最小的m稱為a的階數。所以可去奇點恰好是零階極點。一個全純函式在極點附近一致發散到無窮遠點。
   
2. 如果f的一個孤立奇點a既非可去奇點也非極點，則稱本性奇點。皮卡定理指出f將任意穿孔開鄰域U- {a} 映滿整個複平面，至多少一個可能的例外點。
   

參見

• 解析容量（Analytic capacity）
  
• 可去不連續點（Removable discontinuity）