本質奇點

本質奇點的定義

粗略來說，對複平面 C 上的給定的開子集 U，以及 U 中的一點 a，亞純函式 f : U\{a} → C 在 a 處有本質奇點若且唯若它不是極點也不是可去奇點。

在複雜的分析中，函式的一個基本奇點是一個“嚴重的”奇點，在這個奇點附近，函式表現出奇怪的行為。

類別本質的奇點是一個“殘留的”或默認的奇點組，尤其是無法管理的：根據定義，它們都不適合於可能以某種方式處理的另外兩類奇點 -可移動的奇點和極點。

在複分析中，一個函式的本質奇點（Essential Singularity）是奇點中的“嚴謹”的一類。函式在本質奇點附近會有“極端”的行為。

亞純函式在本質奇點附近的行為可以用魏爾斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更為強大的皮卡定理描述。皮卡定理說明：在 f 的本質奇點 a 附近的每一個鄰域中都會取遍全體複數（或者除了一個值之外）。

考慮一個開子集ü的的複平面Ç。設a是U的一個元素，f:U\{a}→C是一個全純函式。點一個被稱為必不可少的奇異功能的˚F如果奇點既不是極也不是可去奇點。

例如，函式f（z）=e在z= 0處有一個基本的奇點。

讓一個是複數，假設˚F（ż）在沒有定義一個，但是是解析在一些區域ü複平面的，並且每一個開放附近的一個具有非空交集ù。

如果兩個

和

存在，則一個是一個可去奇點兩者的˚F和1 /˚F。

如果

存在但是

不存在，則一個是零的˚F和極1 /的˚F。

同樣，如果

不存在，但

存在，則a是f的一個極點，1 /f的零點。

如果兩者都不

也不

存在，則a是f和1 /f的一個基本奇點。

表征一個基本奇點的另一種方法是，勞倫系列的˚F在點一個具有無限多的負程度術語（即，主要部分的勞倫系列是一個無限總和）。一個相關的定義是，如果有一個點

對此沒有任何派生的

收斂到極限

傾向於

，然後

是一個重要的奇點

。

全純函式在其基本奇點附近的行為由Casorati-Weierstrass定理和相當強大的Picard定理描述。後者說，在每個基本奇點a的鄰域中，函式f對任何複雜的價值（無論是否可能是一個）都有無窮無盡的多次。（這個例外是必要的，因為函式exp（1 /z）永遠不會取0的值）。