奇點指標(index of a singularity)描述孤立奇點拓撲性態的一個量.設X是微分流形M上的連續向量場，pEM是X的孤立奇點.設VCM是含P的拓撲n維球，這裡n=dimM，要求Y中除P外不含X的其他奇點.令S.,’是R"中的n-1維單位球面，g:>V是從S"-’到Y的保向嵌人，v<S是以P為心的小球面.定義映射B 。
定義,結論,
定義
那么p的指標(記為Ind p)定義為B的映射度deg B=Ind p. Ind p是僅與孤立奇點p的拓撲形式有關的數.雙曲奇點的指標為(一1 >'"(這裡m是p點穩定流形的維數).由此可知，平面上的鞍點指標為-1，而淵和源的指標為1.現已知道，緊緻微分流形上連續向量場奇點指標和等於該流形的歐拉示性數，而與向量場本身無關.這個結論最初由龐加萊<Poincare, <J. -)H.)首先對二維情形給出，而後霍普夫( Hopf , E.)給出一般n維情形的證明.
結論
因此，人們把它稱為“龐加萊一霍普夫指標定理”.根據這個定理，二維球面上任何連續向量場必有奇點;二維環面和克萊因瓶上存在不含奇點的連續向量場等.
