零測度

零測度就是某個集合的測度為0。數學上,測度(Measure)是一個函式,它對一個給定集合的某些子集指定一個數,這個數可以比作大小、體積機率等等。

基本介紹

  • 中文名:零測度
  • 外文名:zero measure
  • 領域:數學
測度,測度的定義,性質,單調性,可數個可測集的並集的測度,σ-有限測度,完備性,例子,相關條目,

測度

數學上,測度(Measure)是一個函式,它對一個給定集合的某些子集指定一個數,這個數可以比作大小、體積機率等等。傳統的積分是在區間上進行的,後來人們希望把積分推廣到任意的集合上,就發展出測度的概念,它在數學分析機率論有重要的地位。
測度論實分析的一個分支,研究對象有σ代數、測度、可測函式積分,其重要性在機率論統計學中都有所體現。

測度的定義

正式的定義為,一個測度
(詳細的說法是可列可加的正測度)是個函式。設
的元素是的子集合,而且是一個
-代數,
上定義,於
中取值,並且滿足以下性質:
空集合的測度為零:
可數可加性,或稱
-可加性:若
中可數個兩兩不相交集合的序列,則所有
的聯集的測度,等於每個
的測度之和:
這樣的三元組
稱為一個測度空間,而
中的元素稱為這個空間中的可測集合

性質

單調性

測度
單調性: 若
為可測集,而且
,則

可數個可測集的並集的測度

為可測集(不必是兩兩不交的),則集合
的並集是可測的,且有如下不等式(“次可列可加性”):

σ-有限測度

如果
是一個有限實數(而不是
),則測度空間
稱為有限測度空間。如果
可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限,則該測度空間稱為
-有限測度空間。如果測度空間中的一個集合
可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限,就稱
具有
-有限測度。
作為例子,實數集賦以標準勒貝格測度
-有限的,但不是有限的。為說明之,只要考慮閉區間[k, k+1],k取遍所有的整數;這樣的區間共有可數多個,每一個的測度為1,而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子,取實數集上的計數測度,即對實數集的每個有限子集,都把元素個數作為它的測度,至於無限子集的測度則令為。這樣的測度空間就不是
-有限的,因為任何有限測度集只含有有限個點,從而,覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。
-有限的測度空間有些很好的性質;從這點上說,
-有限性可以類比於拓撲空間的可分性。

完備性

一個可測集
稱為零測集,如果
。零測集的子集稱為可去集,它未必是可測的,但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測,則稱該測度為完備測度
一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度:考慮
的所有這樣的子集
,它與某個可測集
僅差一個可去集,也就是說
對稱差包含於一個零測集中。由這些子集
生成的σ代數,並定義
的值就等於

例子

下列是一些測度的例子(順序與重要性無關)。
計數測度定義為
的“元素個數”。
一維勒貝格測度是定義在
的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足
的唯一測度。
Circular angle測度旋轉不變的。
局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
恆零測度定義為
,對任意的
每一個機率空間都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間[0,1]中)。這就是所謂機率測度。見機率論公理。
其它例子,包括:狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度

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