《隨機偏微分方程的隨機表示理論及其套用》是依託復旦大學，由張奇擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：隨機偏微分方程的隨機表示理論及其套用
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張奇
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目在前期工作的基礎上，研究隨機偏微分方程的解的表示理論及其套用。利用Markov係數的正倒向重隨機微分方程和非Markov係數的正倒向隨機微分積分方程，從兩個途徑開展研究，給出對應的隨機偏微分方程的隨機表示，分別稱為Markov係數的隨機表示定理和非Markov係數的隨機表示定理。對於前者，將以隨機分形方程為例證明它的隨機表示定理，此類隨機偏微分方程對應的正倒向重隨機微分方程的可解性無法由鞅表示定理直接給出。對於後者，將證明倒向隨機偏微分積分方程的隨機表示定理，在此過程中，將首先解決可退化的倒向隨機偏微分積分方程的可解性和正則性問題。隨機偏微分方程的隨機表示不僅是非線性Feynman-Kac公式理論在隨機偏微分方程中的自然擴展，還可以套用於隨機動力系統、金融數學等領域，本項目還將基於以上研究結果，將隨機表示理論套用到非線性隨機分形方程的平穩解、期權定價等問題中。
結題摘要
隨機偏微分方程（簡記為SPDE）的隨機表示，不僅是非線性Feynman-Kac公式在SPDE情況下的理論擴展，並可套用於SPDE平穩解、歐式期權定價等相關問題中，具有重要的理論和套用價值。本項目從Markov係數和非Markov係數的倒向方程兩個途徑出發，分別建立其與SPDE的聯繫，探索SPDE的隨機表示中一些未解的理論和套用問題。 本項目順利完成既定研究計畫，證明了半線性隨機分形方程的隨機表示定理並將其套用於構造隨機分形方程的平穩解、可退化的倒向隨機偏微分積分方程的隨機表示定理並將其套用於期權定價問題等等。在完成原有研究計畫的基礎上，對一些相關問題進行了擴展研究，證明了係數多項式增長的給定初值的拋物型SPDE的弱解的存在唯一性、可退化的奇異終值的倒向隨機偏微分方程非負解的存在唯一性、非Lipschitz條件下的隨機遞歸系統的值函式是對應的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘性解、路徑依賴的隨機微分策略問題的策略值的存在性等等。 在項目執行期間，項目主要成員（教師、博士後）總計發表論文13篇，接收論文1篇，其中標註了本項目基金號的論文9篇，發表的雜誌包括“SIAM Journal on Control and Optimization”（2篇）、“ESAIM. Control, Optimisation and Calculus of Variations”（1篇）等高水平國際期刊。項目負責人在項目執行期間組織學術會議3次，學術會議受邀報告11次。在研究生培養方面，項目負責人在此期間共有9名碩士生順利畢業。項目組成員在此期間申請到國家自然科學基金委面上項目2項，青年基金1項。 項目的研究結果推動了半線性隨機分形方程、可退化的半線性倒向隨機偏微分積分方程、拋物型半線性SPDE、可退化的奇異終值的倒向隨機偏微分方程、非Lipschitz條件下的隨機遞歸系統、路徑依賴的隨機微分策略等研究問題的進展，並將理論研究套用到隨機控制、金融數學等相關領域。
