全非線性拋物型偏微分方程的隨機解法及其套用研究

《全非線性拋物型偏微分方程的隨機解法及其套用研究》是依託山東大學，由趙衛東擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：全非線性拋物型偏微分方程的隨機解法及其套用研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：趙衛東
• 依託單位：山東大學

中文摘要

本項目擬研究全非線性拋物型偏微分方程的隨機解法及其套用：基於偏微分方程、正倒向隨機微分方程、隨機鞅以及科學計算的理論，研究全非線性拋物型偏微分方程的二階正倒向隨機微分方程有效表示，通過二階正倒向隨機微分方程，研究提出全非線性拋物型偏微分方程的高效、高精度、強穩定的倒向隨機數值解法;嚴格地數值理論分析所提解法的收斂性、穩定性、高精度性和高效並行性；研究解法的高維模擬計算；研究解法在隨機最優控制問題、圖像處理、G-布朗運動和G-期望等全非線性問題中的套用。該研究對深入理解非線性偏微分方程的動態機制，推動非線性偏微分方程的理論和科學計算理論的發展，加快拓寬非線性偏微分方程理論在各領域的套用，都具有十分重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

自然界及人類社會的複雜系統中相互作用的機制能夠被非線性偏微分方程很好地定量刻畫。本項目研究了全非線性拋物型偏微分方程的隨機解法及其套用。基於偏微分方程、正倒向隨機微分方程、隨機鞅和科學計算等理論，得到了全非線性拋物型偏微分方程的二階正倒向隨機微分方程的合理表示，進而研究提出了全非線性拋物型偏微分方程的高效、高精度、強穩定的倒向隨機數值解法；並嚴格理論數值理論分析所提解法的穩定性和收斂性誤差估計。同時，在研究該項目課題的過程中，項目組成員在正倒向隨機微分方程數值解、平均場隨機微分方程數值解等領域取得了突破性進展；在隨機偏微分方程數值解、分數階偏微分方程等領域也取得了一定的研究成果。 在國家自然科學基金委（No.11571206）的大力支持資助下，項目組成員通過四年的努力，非常圓滿地完成了該項目的研究目標，並取得了具有國際先進水平的重要研究成果。在國內外著名刊物發表文章總計25篇（其中，SCI文章24篇），另有4篇論文已接受待正式發表。若干其他研究仍在進行中；邀請國際知名專家學者來訪27人次，參加國內外相關學術會議並作報告35次，國內外學術訪問16次，其中出國訪問3次。共培養博士研究生9名（其中畢業博士4名，在讀博士 5名，包括2名外籍留學生）、碩士研究生25名（其中畢業碩士11名，在讀碩士14名，包括外籍留學生3名）。 該項目取得的研究成果對深刻理解非線性偏微分方程的動態機制、推動非線性偏微分方程的理論和科學計算理論的發展、加快拓寬非線性偏微分方程理論在環境、航空、經濟、金融、最佳化控制、風險度量等眾多領域的套用有重要意義。該成果近年來已受到國內外學者的廣泛關注，已經引發其在相關研究領域的一些重要研究，並會在一些具有重要理論和套用價值的相關領域繼續引發重要的後續研究。