辛形式

數學中，一個辛矢量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V，所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。

基本介紹

  • 中文名：辛形式
  • 外文名：Symplectic vector space
  • 領域：數學
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簡介

數學中，一個辛矢量空間是帶有辛形式ω 的向量空間V，所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。
確切地說，一個辛形式是一個雙線性形式 ω ：V×V→R滿足：
  • 斜對稱：ω(u,v) = −ω(v,u)，對所有u,v∈V成立；
  • 非退化：如果 ω(u,v) = 0 對所有v∈V成立，那么u= 0 。
取定一組基，ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣，辛矩陣表示空間的一個辛變換。
如果V是有限維的那么維數必須為偶數，因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。
非退化斜對稱雙線性形式和非退化“對稱”雙線性形式，比如歐幾里得向量空間的內積，的表現非常不同。歐幾里得內積g，對任何非零向量v，均有g(v,v) > 0 成立；但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0 。

非退化

在線性代數及相關數學領域中，零向量（也稱退化向量）即歐幾里得空間里的中所有元素都為 0 的向量(0, 0, …, 0)。零向量的表式法於印刷體會打成稍微斜一點的粗黑體數字
或粗黑體大寫英文字母
，手寫的為避免與數字0混淆，因此會在數字0上面加上一個向右的(半)箭頭表示這是一個零向量，如：
、
。
在一般的向量空間中，零向量是唯一確定的向量。它是向量加法的單位元素。
  • 證明：零向量是唯一的：若a和b為零向量，則 a = a + b = b。

雙線性形式

在域F中,向量空間V的雙線性形式指的是一個V×V→F上的線性函式B, 滿足：
，映射：
都是線性的。這個定義也適用於交換環的模，這時線性函式要改為模同態。
注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射。

參考

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