辛空間

辛空間(symplectic linear space)是一個數學術語,在數學上,辛空間是一類有特殊結構的向量空間。設V是特徵≠2的域K上的向量空間,ω是V上一個反對稱2形式。若ker ω={0},則稱ω為V上的一個辛形式。此時,(V,ω)就稱為辛空間。V是偶數維的。

基本介紹

  • 中文名:辛空間
  • 外文名:symplectic linear space
  • 領域:數學
  • 本質:向量空間
  • 矩陣類型:格拉姆矩陣
  • 同構群:辛群
線性空間,辛空間定義,辛群,

線性空間

線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合,P是一個域.若:
1.在V中定義了一種運算,稱為加法,即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β,稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算,稱為純量乘法(亦稱數量乘法),即對V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα,稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件:
1) α+β=β+α,對任意α,β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ,對任意α,β,γ∈V.
3) 存在一個元素0∈V,對一切α∈V有α+0=α,元素0稱為V的零元.
4) 對任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β稱為α的負元素,記為-α.
5) 對P中單位元1,有1α=α(α∈V).
6) 對任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 對任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8) 對任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ,
則稱V為域P上的一個線性空間,或向量空間。V中元素稱為向量,V的零元稱為零向量,P稱為線性空間的基域。當P是實數域時,V稱為實線性空間。當P是複數域時,V稱為複線性空間。例如,若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合,P為實數域R,則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如,若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P),V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法,則Mmn(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如,域P上所有n元向量(a1,a2,…,an)構成的集合P對於加法:(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)與純量乘法:λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)構成域P上的線性空間,稱為域P上n元向量空間。
線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量,代數學中的n元向量、矩陣、多項式,分析學中的函式等)的本質屬性後抽象出來的數學概念,近代數學中不少的研究對象,如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton,W.R.)首先引進向量一詞,並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann,H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年,他與柯西(Cauchy,A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz,O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。

辛空間定義

辛空間(symplectic linear space)是一種特殊的複線性空間。指帶非退化反對稱雙線性函式的有限維複線性空間。設V是複數域C上的n維線性空間,若在V上定義了一個非退化反對稱雙線性函式,則稱V為辛空間。在2n維辛空間記憶體在這樣的基底ε1,ε2,…,ε2n,關於它的格拉姆矩陣為:
其中:
2n維辛空間的每一線性變換σ,都存在它的共軛變換σ。若以A,B分別表示σ與σ關於給定基的矩陣,則B=GA′G,其中G是關於給定基的格拉姆矩陣,A′是A的轉置矩陣。2n維辛空間的線性變換σ是對稱(反對稱)的充分必要條件是σ關於基α1,α2,…,αn的矩陣A與A的轉置矩陣A′有關係A′G=GA,其中G是關於基α1,α2,…,αn的格拉姆矩陣。

辛群

一類重要的。是辛空間的自同構群。設(V,ω)是一辛空間,若φ:V→V是線性同構且滿足ω(φX,φY)=ω(X,Y),X,Y∈V,則稱φ為(V,ω)的一個自同構。(V,ω)的自同構全體構成群GL(V)的一個子群,記為SP(V,ω)。特別地,標準辛空間(K,ω)的自同構群記為Sp(2n,K).若K=R(實數域),則把Sp(2n,K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛群。
若V是域K上2m維列向量空間,f是V的非退化的交錯雙線性型,則使f(Ax,Ay)=f(x,y)對所有的x,y∈V成立的線性變換A∈GL(V)稱為關於f的辛變換。關於f的全體辛變換在映射乘法下構成的群稱為辛群,記為Sp2m(K,f).由不同的f決定的辛群Sp2m(f,K)相互同構。因此,不妨取:
並將相應的辛群記為Sp2m(K),這裡:
從矩陣觀點來看,
辛變換的行列式都是1,辛群的中心為{±I}。

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