貝蒂數

貝蒂數

代數拓撲學中,拓撲空間貝蒂數 是一族重要的不變數,取值為非負整數或無窮大。

基本介紹

介紹,定義,例子,性質,貝蒂數與微分形式,

介紹

代數拓撲學中,拓撲空間貝蒂數
是一族重要的不變數,取值為非負整數或無窮大。直觀地看,
是連通成分之個數,
是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的
可藉同調群定義。
“貝蒂數”一詞首先由龐加萊使用,以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義

空間 X的第k個貝蒂數(k為非負整數)定義為
上式的同調群可以任意域為係數。

例子

(1)圓環S的貝蒂數依次為
(2)二維環面的貝蒂數依次為
(3)三維環面的貝蒂數依次為
(4)一般而言,n維環面的貝蒂數由二項式係數給出,此命題可透過下節敘述的性質證明。
(5)
無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數,例如無窮維復射影空間的貝蒂數依次為
(周期為二)。

性質

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的“洞”數。環面
;一般而言,閉曲面的
等於“洞”或“把手”個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其
完全分類。
有限單純復形CW復形的貝蒂數有限。當 k 大於復形維度時,
對於有限 CW 復形,定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函式
對於任意 X,Y,有
對於n-維可定向閉流形X,龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

貝蒂數與微分形式

微分幾何及微分拓撲中,所論的空間 X通常是閉流形,此時拓撲不變數
可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之,考慮復形
其中
表k次微分形式構成的向量空間,d為外微分。則
這是德拉姆上同調理論的簡單推論。
德拉姆上同調的不便之處,在於它考慮的是微分形式的等價類,其間可差一個
之元素。設流形X具有黎曼度量,則可以定義微分形式的“長度”。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素,透過形式計算可知存在唯一最短元素
,且為調和形式
,在此拉普拉斯運算元依賴於流形的度量,在局部座標系下可表為橢圓偏微分運算元。這套想法催生的霍奇理論在復幾何中扮演關鍵角色。

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