博赫納積分

博赫納積分(Bochner integral)是按勒貝格積分方式定義的一種常用的向量值函式的積分。博赫納積分是勒貝格積分在向量值函式情形的直接推廣，是由博赫納(S.Bochner)在1932年建立的，這種積分在向量值測度理論、運算元理論、機率論、隨機過程以及巴拿赫空間幾何理論等許多數學分支中有廣泛的套用。

基本介紹

• 中文名：博赫納積分
• 外文名：Bochner integral
• 所屬學科：數學
• 屬性：一種常用的向量值函式的積分
• 建立者：博赫納(S.Bochner)
• 相關概念：勒貝格積分
• 定義：按勒貝格積分方式定義的一種常用的向量值函式的積分

基本介紹

設 是完備的σ有限測度空間， 是定義在Ω上而取值於巴拿赫空間X的向量值函式：

1.若 是Ω上的可數值函式，即

而 是Ω中一列互不相交的可測集，

又

則稱 在Ω上是博赫納可積的，並稱

為 的博赫納積分，記為

即

2.對於一般的強可測函式 ，若它是博赫納可積的可數值函式列 的關於μ幾乎處處強收斂的極限且

則說 在Ω上是博赫納可積的，並規定 的博赫納積分為

對於博赫納可積函式 ，它的積分值(向量)不依賴於 的選取，博赫納積分是勒貝格積分在向量值函式情形的直接推廣，是由博赫納(S.Bochner)在1932年建立的，這種積分在向量值測度理論、運算元理論、機率論、隨機過程以及巴拿赫空間幾何理論等許多數學分支中有廣泛的套用，向量值函式 為博赫納可積的充分必要條件是 強可測，且

博赫納積分具有和勒貝格積分類似的若干基本性質，例如，具有線性性、完全可加性、絕對連續性以及控制收斂定理、富比尼定理均成立，但拉東-尼科迪姆定理不成立，就是說，與通常的抽象測度不同，絕對連續的向量值測度不一定能表示成博赫納積分。

集值映射的積分

集值映射的積分(integral of setvalued mapping)是單值映射的積分到集值映射情形的推廣，集值映射有多種可積性概念。設 是測度空間，X是可分巴拿赫空間， 是具非空緊凸值的可測集值映射，記 { 是F的可測單值選擇}。若 為佩蒂斯可積(相應地，博赫納可積)，則稱F為佩蒂斯可積(相應地，博赫納可積)，且其積分定義為

集值映射的積分現有多種不同的概念。例如，還有下述集值映射的積分概念。設 是測度空間，X是可分巴拿赫空間， 是具非空閉值的可測集值映射．記 { 是F的可測單值選擇，且 在T上為博赫納可積}與 { 是F的可測單值選擇，且 在T上為佩蒂斯可積}，集值映射F在T上的博赫納積分與佩蒂斯積分分別定義為

與

其中

與

分別表示f在T上的博赫納積分與佩蒂斯積分。

博赫納

博赫納(1899-1982，Bochner，Salomon)是美國數學家。1899年8月20日生於奧匈帝國的克拉科夫(現屬波蘭)；1982年5月2 日卒於美國休斯頓。就學於柏林大學，1921年獲博士學位。1924-1926年在哥本哈根大學、劍橋大學、牛津大學邊學習邊工作。1927-1933 年任慕尼黑大學講師。1933 年到美國普林斯頓大學任副教授，1938 年人美國籍，1946 年晉升為教授，1968 年退休。1968年以後任賴斯大學教授，並任數學系系主任多年。1950年被選為美國全國科學院院士。1957-1958 年任美國數學會副主席。

博赫納在機率論、傅立葉分析、多複變函數、調和分析、複流形、復變及概周期函式等領域都有貢獻。

20世紀20 年代初，H·玻爾給出了一類概周期函式，但取和方法相當複雜，博赫納很快就建議玻爾採用簡單許多的博赫納-費耶爾過程。博赫納還用拓撲緊緻性性質使玻爾函式特徵化，後來馮·諾伊曼用此把概周期函式從歐氏空間推廣到了一般群。1932 年他又給出了博赫納積分，即巴拿赫空間元素的函式的勒貝格積分；並很快引入了玻爾函式的相應推 廣一“抽 象” 概 周 期 函 數。1961年博赫納又引人了比玻爾函式更一般的概自守函式。

博赫納在1932 年給出了博赫納正定函式定理，即連續復值函式能表示成傅立葉-斯蒂爾傑斯積分，其中，若且唯若對任意有限點,，和復常數時才成立。這一判別準則在機率論中有不少套用，而且還可套用於希爾伯特空間自伴運算元譜表示的推導中，並已被推廣運用到了拓撲群空間的函式。

博赫納是施瓦爾茨廣義函式理論的先驅者。他引入了函式的廣義傅立葉變換。1936年，他還首先引入了多重傅立葉級數的球形和，現已成為多重傅立葉展開的收斂問題和逼近問題的重要工具。

在多複變函數領域，1943年他用“博赫納-馬丁內利核”證明了“對於具連通邊界的有界域，邊界上的全純函式可以延拓到該域的整個內部”這一哈托格斯的關鍵性定理。1938年，他證明了管的正則包絡也是管，包絡管的基是原來管的基的凸閉包。

在機率論領域，博赫納在1946年引入了一類一般形式的隨機過程的傅立葉變換，把加性集函式隨機化，不僅得到三維納微分空間，而且還得到了同類型的其他平穩過程。

博赫納因對機率論、傅立葉分析、多複變函數等領域的貢獻及影響，而於1979 年獲美國數學會的斯蒂爾獎。他著有《多復變數》(Several ComplexVariables，1948；與W.T.馬丁合作)、《調和分析與機率論》(Harmonic Analysis andtheTheory of Probability，1956)、《曲率和貝蒂數》(Curvatureand Betti Numbers，1953；與 矢野健太郎合作)和《傅立葉積分》(Fourier Integrals，1959) 等書。