拉東-尼科迪姆性質是向量值測度可能具有的一個重要性質，其有關問題是理論研究中的重要課題。
基本介紹
- 中文名：拉東-尼科迪姆性質
- 外文名：Radon-Nikodym property
- 適用範圍：數理科學
簡介,發展,
簡介
拉東-尼科迪姆性質是向量值測度可能具有的一個重要性質，其有關問題是理論研究中的重要課題。
設(Ω,𝓕,μ)是有限測度空間，X是巴拿赫空間，B(Ω,X,μ)代表定義在Ω上而取值於X的博赫納可積函式全體。如果對每個定義在𝓕上而取值於X的有界變差且關於μ絕對連續的向量值測度E，均存在f∈B(Ω,X,μ)，使得
則說X關於(Ω,𝓕,μ)具有拉東-尼科迪姆性質。
如果X關於一切有限測度空間均具有拉東-尼科迪姆性質，則說X具有拉東-尼科迪姆性質。
發展
博赫納(Bochner,S.)於1932年提出了如今以他的名字命名的向量值函式的積分--博赫納積分，並且考慮將數值測度論中的拉東-尼科迪姆定理推廣到向量值測度的情況。但是，博赫納發現，對巴拿赫空間L[0,1]，這種推廣是不可行的。因此，需要討論拉東-尼科迪姆定理成立的條件，這樣便產生了巴拿赫空間具有拉東-尼科迪姆性質的概念。
伯克霍夫(Birkhoff,G.D.)於1935年證明，希爾伯特空間具有拉東-尼科迪姆性質。
克拉克松(Clarkson, J.A.)於1936年引入了一致凸空間的概念，並證明了一致凸巴拿赫空間具有拉東-尼科迪姆性質。
蓋爾豐德於1938年證明了自反巴拿赫空間具有拉東-尼科迪姆性質。
現在，關於拉東-尼科迪姆性質的研究仍是一個引人注目的課題，並且已經取得了大量的成果。
