線性積分方程(linear integral equation)是積分方程的主要研究對象，若方程中未知函式包含在積分號下，這個方程稱為積分方程。當積分方程中的未知函式是一次時，就稱為線性積分方程。
基本介紹
- 中文名：線性積分方程
- 外文名：linear integral equation
- 隸屬：積分方程
- 相關：非線性積分方程
- 套用學科：數理科學
- 數學思想：極限理論
定義,分類,發展,
定義
線性積分方程的一般形式是
其中
是未知函式，
，
和
都是已知函式，
，a，b是常數，變數
和
可取區間（a，b）內的一切值。
稱為積分方程的核，
稱為自由項，
稱為方程的參數。若
=0，則稱該積分方程為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。
線性積分方程與數學的其他分支有緊密而重要的聯繫，例如，微分方程、泛函分析、複分析、計算數學、位勢理論和隨機分析等。甚至它的形成和發展是很多重要數學思想和概念的最初來源和模型。例如，對泛函分析中平方可積函式、平均收斂、運算元等的形成，對一般線性運算元理論的創立，以至於對整個泛函分析的形成都起著重要的推動作用。積分方程論中許多思想和方法，例如，關於第二種弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程的弗雷德霍姆理論和奇異積分方程的諾特(Noether)理論以及逐次逼近方法，本身就是數學中經典而優美的理論和方法之一。
分類
線性積分方程可分為一維弗雷德霍姆積分方程（
方程）、n維弗雷德霍姆積分方程、沃爾泰拉積分方程等。其中一維弗雷德霍姆積分方程（
方程）又分為三類：
第一類
方程：
第二類
方程：
第三類
方程：
n維弗雷德霍姆積分方程：
發展
D.希爾伯特和E.施密特對第二種弗雷德霍姆積分方程做了重要的工作，特別是關於對稱核積分方程的特徵值存在性，對稱核關於特徵函式序列的展開，以及希爾伯特 -施密特展開定理等。至於第一種弗雷德霍姆積分方程，早在1828年就為G.格林在研究位勢理論以解決拉普拉斯方程的狄利克雷問題時所導出。
線性積分方程理論的發展，始終與數學物理問題的研究緊密相聯，它在工程、力學等方面有著極其廣泛的套用。通常認為，最早自覺套用線性積分方程並求出解的是阿貝爾(Abel)，他在1823年研究質點力學問題時引出阿貝爾方程。此前，拉普拉斯(Laplace)於1782年在數學物理中研究拉普拉斯變換的逆變換以及傅立葉(Fourier)於1811年研究傅立葉變換的反演問題實際上都是解第一類積分方程。隨著計算技術的發展，作為工程計算的重要基礎之一，線性積分方程進一步得到了廣泛而有效地套用。如今，“物理問題變得越來越複雜，線性積分方程變得越來越有用”。線性積分方程與數學的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、複分析、計算數學、位勢理論和隨機分析等都有著緊密而重要地聯繫。甚至它的形成和發展是很多重要數學思想和概念的最初來源和模型。例如，對泛函分析中平方可積函式、平均收斂、運算元等的形成，對一般線性運算元理論的創立，以至於對整個泛函分析的形成都起著重要的推動作用。線性積分方程論中許多思想和方法，例如，關於第二種弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程的弗雷德霍姆理論和奇異積分方程的諾特(Noether)理論以及逐次逼近方法，本身就是數學中經典而優美的理論和方法之一。
