線性積分運算元分解

線性積分運算元分解是運算元的一種分解。所謂線性積分運算元的分解，是指把一個線性積分運算元分解為另外兩個或幾個線性運算元的複合。這種分解，在許多問題中是有重要意義的。

基本介紹

• 中文名：線性積分運算元分解
• 外文名：splitting of linear inte-gral operator
• 適用範圍：數理科學

簡介

線性積分運算元分解是運算元的一種分解。

所謂線性積分運算元的分解，是指把一個線性積分運算元分解為另外兩個或幾個線性運算元的複合。這種分解，在許多問題中是有重要意義的。例如，在利用變分方法研究非線性積分方程解的性質時，線性積分運算元的分解起著重要作用。

性質

設k(x,y)是擬正定核，由k(x,y)確定的線性積分運算元K映L²(G)入L²(G)全連續，並且映L^q(G)入L^p(G)全連續，這裡1<q≤2，則必定存在映L²(G)入L^p(G)的全連續線性運算元H，使得K可以分解為，其中是H的共軛運算元，P₁是反映L²(G)到E₁的線性投影運算元，E₁是K的屬於L²(G)的所有對應於負特徵值的特徵函式組成的L²(G)的閉子空間（由於k(x,y)是擬正定的，E₁必定是有限維的），P₂=I-P₁。

若k(x,y)是正定核，則P₁=0，在這種情況下，K具有分解K=HH*。

運算元

廣義的講，對任何函式進行某一項操作都可以認為是一個運算元，甚至包括求冪次，開方都可以認為是一個運算元，只是有的運算元我們用了一個符號來代替他所要進行的運算罷了，所以大家看到運算元就不要糾結，他和的沒區別，它甚至和加減乘除的基本運算符號都沒有區別，只是他可以對單對象操作罷了（有的符號比如大於、小於號要對多對象操作）。又比如取機率P{X<x}，機率是集合{X<x}（他是屬於實數集的子集）對[0,1]區間的一個映射，我們知道實數域和[0,1]區間是可以一一映射的，所以取機率符號P，我們認為也是一個運算元，和微分，積分運算元運算元沒區別。總而言之，運算元就是映射，就是關係，就是變換。