特徵函式

在機率論中，任何隨機變數的特徵函式(縮寫：ch.f,複數形式：ch.f's)完全定義了它的機率分布。

基本介紹

• 中文名：特徵函式
• 外文名：ch.f's
• 縮寫：ch.f
• t：一個實數
• i：虛數單位
• E：期望值
• 外文名：Characteristic function

定義

在機率論中，任何隨機變數的特徵函式(縮寫：ch.f,複數形式：ch.f's)完全定義了它的機率分布。在實直線上，它由以下公式給出，其中X是任何具有該分布的隨機變數：

其中t是一個實數，i是虛數單位，E表示期望值。

用矩母函式M_X（t）來表示（如果它存在），特徵函式就是iX的矩母函式，或X在虛數軸上求得的矩母函式。

與矩母函式不同，特徵函式總是存在。

如果F_X是累積分布函式，那么特徵函式由黎曼-斯蒂爾切斯積分給出：

如果隨機變數的機率密度函式存在，機率密度函式為，上述積分可以簡化為：

其中是隨機變數X的機率密度函式。

如果X是一個向量值隨機變數，我們便取自變數t為向量，tX為數量積。

性質

特徵函式具有以下基本性質：

勒維連續定理

如果兩個隨機變數具有相同的特徵函式，那么它們具有相同的機率分布； 反之， 如果兩個隨機變數具有相同的機率分布， 它們的特徵函式也相同(顯然)。

獨立隨機變數和的特徵函式等於每個隨機變數特徵函式的乘積。

反演定理

在累積機率分布函式與特徵函式之間存在雙射。也就是說，兩個不同的機率分布不能有相同的特徵函式。

給定一個特徵函式φ，可以用以下公式求得對應的累積機率分布函式F：

。

一般地，這是一個廣義積分；被積分的函式可能只是條件可積而不是勒貝格可積的，也就是說，它的絕對值的積分可能是無窮大。

博赫納-辛欽定理/公理化定義

任意一個函式是對應於某個機率律的特徵函式，若且唯若滿足以下三個條件：

是連續的；

；

是一個正定函式（注意這是一個複雜的條件，與不等價）。

計算性質

特徵函式對於處理

特徵函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一個獨立（不一定同分布）的隨機變數的序列，且

其中ai是常數，那么Sn的特徵函式為：

特別地，。這是因為：

。

注意我們需要和的獨立性來確立第三和第四個表達式的相等性。

另外一個特殊情況，是且為樣本平均值。在這個情況下，用表示平均值，我們便有：

。

特徵函式的套用

由於連續定理，特徵函式被用於中心極限定理的最常見的證明中。

矩

特徵函式還可以用來求出某個隨機變數的矩。只要第n個矩存在，特徵函式就可以微分n次，得到：

例如，假設X具有標準柯西分布。那么。它在 t=0處不可微，說明柯西分布沒有期望值。另外，注意到個獨立的觀測的樣本平均值具有特徵函式，利用前一節的結果。這就是標準柯西分布的特徵函式；因此，樣本平均值與總體本身具有相同的分布。

特徵函式的對數是一個累積量母函式，它對於求出累積量是十分有用的；注意有時定義累積量母函式為矩母函式的對數，而把特徵函式的對數稱為第二累積量母函式。

一個例子

具有尺度參數θ和形狀參數k的伽瑪分布的特徵函式為：

現在假設我們有：

其中X和Y相互獨立，我們想要知道X+Y的分布是什麼。X和Y特徵函式分別為：

根據獨立性和特徵函式的基本性質，可得：

這就是尺度參數為θ、形狀參數為k1+k2的伽瑪分布的特徵函式，因此我們得出結論：

這個結果可以推廣到n個獨立、具有相同尺度參數的伽瑪隨機變數：