基本介紹
- 中文名:機率母函式
- 外文名:probability generating function;
- 用途:研究隨機變數分布律的分析工具
- 套用:機率論、統計學
- 學科:數學
定義,單變數情形,多變數情形,性質,冪級數,機率和期望,獨立隨機變數的函式,示例,相關概念,
定義
單變數情形
如果X是在非負整數域{0,1, ...}上取值的離散隨機變數,那么X的機率母函式定義為 :
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多變數情形
如果X= (X1,...,Xd )是在d-非負整數格{0,1, ...}上取值的離散隨機變數, 那么X的機率母函式定義為:
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性質
冪級數
機率和期望
以下性質是與X有關的各種基本量的推導:
1、X的機率質量函式通過取G的導數來恢復,
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2、機率密度函式的歸一化可以用母函式來表示:
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該預期的X由下式給出:
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所以,X的方差由下式給出:
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獨立隨機變數的函式
機率母函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如:
如果X1,X2,...,Xn是一系列獨立的(不一定是相同分布的)隨機變數,並且
其中ai是常數,則機率母函式由下式給出:
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那么,機率母函式GSN(z)由下式給出:
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也就是說,兩個獨立隨機變數S=X1-X2的差的機率母函式是:
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示例
1.一個常數隨機變數(即
)的機率母函式是:

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2.一個的機率母函式二項式隨機變數,在成功的次數Ñ試驗中,機率p是每次試驗成功的機率,機率母函式是:
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注意,這是具有參數p的伯努利隨機變數的機率母函式的n倍乘積。
所以,擲硬幣時間的機率母函式是:
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3.一個機率母函式的負二項隨機變數在{0,1,2 ...}中,每次試驗的成功機率p,機率母函式是:

相關概念
其他隨機變數的母函式包括矩母函式、特徵函式和累積量母函式。