機率母函式

在機率論里，機率母函式是指該隨機變數的機率質量函式的冪級數表達式。它也是研究隨機變數分布律的一個重要的分析工具。

基本介紹

• 中文名：機率母函式
• 外文名：probability generating function;
• 用途：研究隨機變數分布律的分析工具
• 套用：機率論、統計學
• 學科：數學

定義

單變數情形

如果X是在非負整數域{0，1， ...}上取值的離散隨機變數，那么X的機率母函式定義為 ：

其中p是X的機率質量函式。

多變數情形

如果X= (X₁，...，X_d )是在d-非負整數格{0，1， ...}上取值的離散隨機變數， 那么X的機率母函式定義為：

其中p是X的機率質量函式。

性質

冪級數

機率母函式服從冪級數的所有非負係數的規則。特別地， ，其中 ，因為機率必須總和為1。所以任何機率母函式的收斂半徑必須至少為1，通過具有非負係數的冪級數的Abel定理來證明。

機率和期望

以下性質是與X有關的各種基本量的推導：

1、X的機率質量函式通過取G的導數來恢復，

2、機率密度函式的歸一化可以用母函式來表示：

該預期的X由下式給出：

所以，X的方差由下式給出：

獨立隨機變數的函式

機率母函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如：

如果X₁，X₂，...，X_n是一系列獨立的（不一定是相同分布的）隨機變數，並且 其中a_i是常數，則機率母函式由下式給出：

例如，如果

那么，機率母函式G_SN（z）由下式給出：

也就是說，兩個獨立隨機變數S=X₁-X₂的差的機率母函式是：

示例

1.一個常數隨機變數（即 ）的機率母函式是：

2.一個的機率母函式二項式隨機變數，在成功的次數Ñ試驗中，機率p是每次試驗成功的機率，機率母函式是：

注意，這是具有參數p的伯努利隨機變數的機率母函式的n倍乘積。

所以，擲硬幣時間的機率母函式是：

3.一個機率母函式的負二項隨機變數在{0，1，2 ...}中，每次試驗的成功機率p，機率母函式是：

相關概念

機率母函式是一個的例子母函式的序列組成：也見形式冪級數。這與機率質量函式的z變換等效，有時稱為z變換。

其他隨機變數的母函式包括矩母函式、特徵函式和累積量母函式。