矩量母函式

在統計學中，矩又被稱為動差(Moment)。矩量母函式(Moment Generating Function,簡稱mgf)又被稱為動差生成函式。

稱exp(tξ)的數學期望為隨機變數ξ的矩量母函式，記作m_ξ(t)=E(exp(tξ)).

連續型隨機變數ξ的MGF為：m_ξ(t)=∫exp(tx)f(x)dx,積分區間為(-∞,+∞)，f(x)為ξ的機率密度函式。

離散型隨機變數ξ的MGF為：m_ξ(t)=∑exp(tx)p(ξ=x),其中連加號代表對ξ的所有取值連加，p(ξ=x)為ξ的機率分布函式。

矩量母函式存在若且唯若上述積分(連加)極限存在。

基本介紹

• 中文名：矩量母函式
• 外文名：Moment Generating Function(MGF)
• 概述：ξ的MGF為exp(tξ)的數學期望
• 性質：mgf與其機率分布一一對應
• 套用：求隨機變數的各階矩
• 所屬領域：統計學

定義

定義1（矩量母函式）設 為隨機變數，若存在某正實數 ，使得對於區間 中任一實數t，數學期望 均存在，則稱

為隨機變數 或其分布的矩量母函式（moment generating function），簡記為mgf.

另外，稱矩量母函式的對數為累積量生成函式。

與特徵函式的聯繫

定義2（特徵函式）設 為隨機變數，稱復隨機變數 的數學期望

為 的特徵函式，其中t為實數。

特徵函式具有以下性質：

（1）如果兩個隨機變數具有相同的特徵函式，那么它們具有相同的機率分布； 反之， 如果兩個隨機變數具有相同的機率分布， 它們的特徵函式也相同(顯然)。

（2）獨立隨機變數和的特徵函式等於每個隨機變數特徵函式的乘積。

綜合定義1和定義2，可得隨機變數 的特徵函式與其mgf之間存在如下關係:

對比特徵函式的性質，隨機變數的mgf也具有如下常用性質：

（1）如果兩個隨機變數具有相同的mgf，那么它們具有相同的機率分布； 反之， 如果兩個隨機變數具有相同的機率分布， 它們的mgf也相同。（即在mgf存在的情況下，隨機變數的mgf與其機率分布相互唯一確定。）

（2）獨立隨機變數和的mgf等於每個隨機變數mgf的乘積。

性質

以連續隨機變數為例，離散型隨機變數可做相同變換。

（1）由泰勒級數

有

即

其中， 是隨機變數 的i階中心矩。

（2）m_ξ(-t)是雙側拉普拉斯變換(Laplace Transform)。

（3）不管機率分布是不是連續，矩量母函式都可以用黎曼-斯蒂爾切斯積分給出：

其中，F(x)是累積分布函式(Cumulative Distribution Function, 簡稱CDF)。

套用

常見分布的mgf

對於隨機變數，有如下結論：

（1）若，則的mgf為

（2）若，則的mgf為

（3）若服從參數為的指數分布，則的mgf為

求隨機變數的矩

設隨機變數 的矩量母函式存在，則 的各階矩存在且可由矩量母函式表示。具體地， 的k階矩為矩量母函式在0點的k階導數值，即對任意正整數k，有

特別地，有

證明：由泰勒級數

有

即

其中，是隨機變數的i階中心矩。上式左右兩邊同時對t求n階導，得到

故

即

證畢。