指示函式

在集合論中，指示函式是定義在某集合X上的函式，表示其中有哪些元素屬於某一子集A。

基本介紹

• 中文名：指示函式
• 外文名：indicator function
• 相關學科：數學、組合數學
• 其他稱呼：特徵函式（非正式）
• 套用：集合

定義

在數學中，指示函式是定義在某集合X上的函式，表示其中有哪些元素屬於某一子集 ，常套用在集合論中。指示函式有時候也稱為特徵函式。現在已經少用這一稱呼。機率論有另一意思迥異的特徵函式。

集X的子集 的指示函式是函式 ，定義為

.

的指示函式也記作 或

簡單性質

把 的子集 對應到它的指示函式的映射是雙射，值域是所有函式 的集合。

如果 和 是 的兩個子集，那么

以及

更一般地，設 是 的子集。對任意 ，可知

若且唯若x不屬於任何。

故有

展開左式

其中是的勢。這是容斥原理的一個形式。

如上一例子所示，指示函式是組合數學一個有用記法。這記法也用在其他地方，例如在機率論：若是機率空間，有機率測度P，是可測集，那么就是隨機變數，其期望值等於的機率，

這等式用於馬爾可夫不等式的一個簡單證明里。