泊松積分公式

泊松積分公式是圓域狄利克雷問題的求解公式。公式表明：如果知道調和函式在圓周l上的點(R,θ)的值是u(R,θ)，便能找出它在圓內任一點(r,φ)的值。

基本介紹

• 中文名：泊松積分公式
• 外文名：Poisson integral formula
• 適用範圍：數理科學

簡介

泊松積分公式是圓域狄利克雷問題的求解公式。

設函式u(z)在圓|z|<R內調和，在|z|≤R上連續，則對於|z|<R內任意一點z=re，有圓內泊松公式

意義

泊松積分公式表明：如果知道調和函式在圓周l上的點(R,θ)的值是u(R,θ)，便能找出它在圓內任一點(r,φ)的值；換句話說，任何一個調和函式在圓內的值都可以用它在圓周上的值來表達。

推廣

在泊松公式中，令r=0，此時，點z則變成圓心了，於是有

由此可見，調和函式在圓心點值等於它在該圓周界上的值的算術平均值，上式稱為調和函式的中值公式。

狄利克雷問題

(Dirichlet's problem)

狄利克雷問題亦稱第一邊值問題，是調和函式的一類重要邊值問題。求一個在區域D內調和並在(DU∂D)上連續的函式 u(z)的問題，要求它在∂D上取給定的連續函式φ(ξ)（ξ∈∂D）。