《數學物理方法I》是2011年6月科學出版社出版的圖書，作者是[德]R.柯朗 、 [德]D.希爾伯特 ，譯者是錢敏、,郭敦仁。
基本介紹
- 書名：數學物理方法I
- 作者：[德]R.柯朗、[德]D.希爾伯特
- 譯者：錢敏,郭敦仁
- 出版社：科學出版社
- 出版時間：2011年06月
- 定價：88 元
- ISBN：9787030313614
- 叢書：數學名著譯叢
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《數學物理方法》系一經典名著。《數學物理方法》系統地提供了為解決各種重要物理問題所需的基本數學方法。全書分三卷出版。本書為《數學物理方法I》，由R.柯朗和D.希爾伯特編寫，內容包括：線性代數和二次型、任意函式的級數展開、線性積分方程、變分法、振動和本徵 值問題、變分法在 本徵值問題上的套用以及本徵值問題所定義的特殊函式。《數學物理方法I》可以作為高等學校“數學物理”課程的教科書；對理論物理學工作者，它也是一本有用的參考書。
圖書目錄
中譯本前言
英文版原序摘譯
第1章 線性代數和二次型 1
1.1 線性方程和線性變換 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 正交矢量組、完備性 3
1.1.3 線性變換、矩陣 4
1.1.4 雙線型、二次型和埃爾米特型 9
1.1.5 正交變換和復正交變換 12
1.2 含線性參數的線性變換 14
1.3 三次型和埃爾米特型的主軸變換 19
1.3.1 根據極太值原理作主軸變換 19
1.3.2 本徵值 22
1.3.3 推廣於埃爾米特型 23
1.3.4 二次型的惰性定理 23
1.3.5 二次型的預解式的表示 24
1.3.6 與二次型相聯屬的線性方程組的解 25
1.4 本徵值的極小極大性 26
1.4.1 用極小極大問題表征本徵值 26
1.4.2 套用、約束 28
1.5 補充材料及問題 29
1.5.1 線性獨立性及格拉姆行列式 29
1.5.2 行列式的阿達馬不等式 30
1.5.3 正則變換的廣義處理 31
1.5.4 無窮多個變數的變線型和二次型 34
1.5.5 無窮小線性變換 35
1.5.6 微擾 36
1.5.7 約束 38
1.5.8 矩陣或變結型的初等除數 38
1.5.9 復正交矩陣的譜 39
參考文獻 39
第2章 任意函式的級數展開 41
2.1 正交函式組 41
2.1.1 定義 41
2.1.2 一組函式的正變化 43
2.1.3 貝塞爾不等式、完備性關係、平均逼近 43
2.1.4 無窮多個變數的正交變換和復正變變換 46
2.1.5 在多個自變數及更一般的假定下上述結果的正確性 47
2.1.6 多變數完備函式組的構造 47
2.2 函式的聚點定理 48
2.2.1 函式空間的收斂性 48
2.3 獨立性測度和維數 51
2.3.1 獨立性測度 51
2.3.2 一函式序列的漸近維數 51
2.4魏爾斯特拉斯逼近定理、軍函式和三角函式的完備性 54
2.4.1 魏爾斯特拉斯逼近定理 54
2.4.2 推廣到多元函式的情形 56
2.4.3 函式及其微商同時用多項式逼近 57
2.4.4三角函式的完備性 57
2.5 傅立葉級數 58
2.5.1 基本定理的證明 58
2.5.2 重傅立葉級數 61
2.5.3 傅立葉係數的數量級 62
2.5.4基本區間長度的更改 62
2.5.5 例子 62
2.6 儒里葉積分 64
2.6.1 基本定理 64
2.6.2 把上節結果推廣到多元函式的情形 66
2.6.3 互逆公式 67
2.7 傅立葉積分的例子 68
2.8 勒讓德多項式 69
2.8.1 從冪函式1，x，x2，...的正變化作出勒讓德多項式 69
2.8.2 母函式 71
2.8.3 勒讓德多項式的其他性質 72
2.9 其他正交組的例子 73
2.9.1 導致勒讓德多項式的問題的推廣 73
2.9.2 切比雪夫多項式 74
2.9.3 雅可比多項式 76
2.9.4 埃爾米特多項式 77
2.9.5 拉蓋爾多項式 79
2.9.6 拉蓋爾函式和埃爾米特函式的完備性 81
2.10 補充材料和問題 82
2.10.1 等周問題的赫爾維夜解 82
2.10.2 互逆公式 83
2.10.3 傅立葉積分和平均收斂性 84
2.10.4 由傅墾葉級數和積分所得的譜分解 85
2.10.5 稠密函式組 85
2.10.6 赫明茲關於事函式完備性的一個定理 86
2.10.7 費耶求和定理 86
2.10.8 梅林反搞公式 87
2.10.9 吉布斯現象 89
2.10.10 關於格拉姆行列式的一個定理 91
2.10.11 勒貝格積分的套用 92
參考文獻 93
第3章 線性積分方程 95
3.1 引論 95
3.1.1 符號和基本概念 95
3.1.2 以積分表示的函式 96
3.1.3 退化核 97
3.2 退化核的弗雷德霍姆定理 97
3.3 對任意核的弗雷德霍姆定理 100
3.4對稱核及其本徵值 103
3.4.1 對稱核的本徵值的存在性 103
3.4.2 本徵函式和本徵值的全體 106
3.4.3 本徵值的極大報小性質 110
3.5 展開定理及其套用 112
3.5.1 展開走理 112
3.5.2 非齊次線性積分方程的解 113
3.5.3 累次核的雙線公式 114
3.5.4 Mercer定理 116
3.6 諾伊曼級數和預解核 117
3.7 弗雷德霍姆公式 119
3.8 積分方程理論的另一推導 123
3.8.1 一個引理 123
3.8.2 對稱核的本徵函式 124
3.8.3 非對稱核 125
3.8.4 本徵值和本徵函式對核的連續依賴性 126
3.9 本理論的推廣 126
3.10 補充材料和問題 127
3.10.1 問題 127
3.10.2 奇異積分方程 128
3.10.3 依施密特關於弗雷德霍姆定理的推導 129
3.10.4 解對稱積分方程的凰斯庫格法 129
3.10.5 決定本徵函式的凱格格法 130
3.10.6 核的形式函式及其本徵值 130
3.10.7 沒有本徵函式的一個非對稱核例子 131
3.10.8 沃爾泰拉積分方程 131
3.10.9 阿貝爾積分方程 131
3.10.10 屬於一非對稱核的共輒正變組 132
3.10.11 第一類積分方程 132
3.10.12 無窮多變數法 133
3.10.13 本徵函式的極小性 134
3.10.14 極性積分方程 134
3.10.15 可對稱化的核 134
3.10.16 由函式方程決定預解核 134
3.10.17 正(負)定核的連續性 135
3.10.18 哈默斯坦定理 135
參考文獻 135
第4章 變分法 137
4.1 變分法的問題 137
4.1.1 函式的極大和極小 137
4.1.2 泛函 139
4.1.3 變分法的典型問題 140
4.1.4 變分法特有的困難 143
4.2 直接解 144
4.2.1 等用問題 144
4.2.2 瑞利里茨方法、極小化序列 144
4.2.3 其他直接方法、有限差法、無窮多個變數法 145
4.2.4 關於變分直接方法的一般討論 149
4.3 歐拉方程 151
4.3.1 變分法中最簡單的問題 151
4.3.2 多個未知函式的問題 153
4.3.3 高階微商的出現 155
4.3.4 多個自變數的情形 156
4.3.5 歐拉微分式之恆等於零 158
4.3.6 齊次形的歐拉方程 160
4.3.7 條件的放寬、杜布瓦雷蒙和哈爾定理 163
4.3.8 變分問題和函式方程 167
4.4 歐拉微分方程的積分168
4.5 邊界條件 169
4.5.1 自由邊界的自然邊界條件 170
4.5.2 幾何問題、橫交條件 172
4.6 二級變分及勒讓德條件 174
4.7 帶附加條件的變分問題 176
4.7.1 等周問題 176
4.7.2 有限附加條件 178
4.7.3 微分方程作為附加條件 180
4.8 歐拉方程的不變性 181
4.8.1 歐拉式作為函式空間的梯度、歐拉式的不變性 181
4.8.2 u的變換、球坐標 183
4.8.3 橢球坐標 184
4.9 變分問題之變換為正則形和迴轉形 188
4.9.1 在附加條件下通常極小問題的變換 188
4.9.2 最簡單的一些變分問題的迴轉變換 190
4.9.3 變分問題向正則形的變換 194
4.9.4 推廣 195
4.10 變分法和數學物理微分方程 197
4.10.1 一般的討論 197
4.10.2 振動的弦和振動的桿 199
4.10.3 膜與板 200
4.11 互逆二次變分問題 204
4.12 補充材料和練習 209
4.12.1 一給定微分方程的變分問題 209
4.12.2 等周問題的可逆性 209
4.12.3 圓形光線 209
4.12.4 代多問題 209
4.12.5 空間問題的例 209
4.12.6 示性曲線及其套用 210
4.12.7 變動的區域 211
4.12.8 諾特關於不變變分問題的定理、質點力學問題中的積分 213
4.12.9 重積分的橫交條件 216
4.12.10 曲面上的歐拉徽分式 217
4.12.11 靜電學中的湯姆生原理 217
4.12.12 彈性體的平衡問題、卡斯泰爾諾沃原理 218
4.12.13 翹曲的變分問題 221
參考文獻 223
第5章 振動和本徵值問題 224
5.1 線性微分方程述引 224
5.1.1 疊加原理 224
5.1.2 齊次和非齊次問題、邊界條件 225
5.1.3 形式關係、伴隨微分式、格林公式 226
5.1.4 結性函式方程線性方程組的類似和極限情形 228
5.2 有限自由度的系統 228
5.2.1 簡正形振動、簡正坐標、運動的普遍理論 229
5.2.2 振動系統的一般性質 232
5.3 弦的振動 232
5.3.1 均勻弦的自由運動 233
5.3.2 受迫振動 235
5.3.3 一般的不均勻的弦和施圈姆-劉維爾本徵值問題 236
5.4 桿的振動 239
5.5 膜的振動 241
5.5.1 關於均勻膜的一般本徵值問題 241
5.5.2 受迫運動 242
5.5.3 節錢 243
5.5.4矩形膜 243
5.5.5 圓形膜、貝塞爾函式 245
5.5.6 不均勻的膜 247
5.6 板的振動 248
5.6.1 概述 248
5.6.2 圓形邊界 248
5.7 關於本徵函式法的一般性問題 249
5.7.1 振動及平衡問題 249
5.7.2 熱傳導及本徵值問題 252
5.8 三維連續體的振動、分離變數法 253
5.9 本徵函式和勢論中的邊值問題 254
5.9.1 圓、球、球殼 254
5.9.2 柱形區域 257
5.9.3 拉梅問題 257
5.10 施圖姆-劉維爾型問題、奇異邊界點 261
5.10.1 貝塞爾函式 261
5.10.2 任意階的勒讓德函式 262
5.10.3 雅可比及切比雪夫多項式 264
5.10.4 埃爾米特及拉蓋爾多項式 264
5.11 施圖姆-劉維爾方程解的漸近行為 266
5.11.1 當自變數趨向無窮時解的有界性 267
5.11.2 更確切一點的結果(貝塞爾函式) 267
5.11.3 當參數增末時的有界性 269
5.11.4 解的漸近表示 270
5.11.5 施圖姆-劉維爾本徵函式的漸近表示271
5.12 具有連續譜的本徵值問題 273
5.12.1 三角函式 274
5.12.2 貝塞爾函式 274
5.12.3 無窮平面的膜振動方程的本徵值問題 274
5.12.4 薛定詩本徵值問題 275
5.13 微擾理論 277
5.13.1 單重本徵值 277
5.13.2 重本徵值 279
5.13.3 轍擾理論的一例 281
5.14 格林函式(影響函式)及化微分方程為積分方程 282
5.14.1 格林函式及常微分方程的邊值問題 283
5.14.2 格林函式的構造、廣義格林函式 285
5.14.3 微分方程和積分方程的等價 288
5.14.4 高階常微分方程 290
5.14.5 偏微分方程 292
5.15 格林函式的例子 297
5.15.1 常微分方程 297
5.15.2 對圓和球u的格林函式 302
5.15.3 格林函式和保角映射 302
5.15.4 在球面上的勢方程的格林畫數 303
5.15.5 直角平行六面體中u=0的格林函式 303
5.15.6 矩形內u的梅林函式 308
5.15.7 圓形環的格林函式 310
5.16 補充材料 311
5.16.1 弦振動的例子 311
5.16.2 自由懸掛的繩的振動、貝塞爾函式 313
5.16.3 振動方程明顯解的例子、橢圓柱函式 314
5.16.4 含有參數的邊界條件 315
5.16.5 微分方程組的格林張量 315
5.16.6 方程u+加=0解的解析延拓 316
5.16.7 關於A也+加=0解的節緝的定理 317
5.16.8 無窮重數的本徵值的例 317
5.16.9 展開定理的有效範圍 317
參考文獻 317
第6章 變分法在本徵值問題上的套用 319
6.1 本徵值的極值性質 319
6.1.1 經典的極值性質 319
6.1.2 推廣 322
6.1.3 當區域具有分隔組成部分時的本徵值問題 325
6.1.4 本徵值的極大-極小性質 325
6.2 由本徵值的極值性質所得的一般結論 326
6.2.1 一般定理 326
6.2.2 本徵值的無限增大 330
6.2.3 施圖姆劉維爾問題中本徵值的漸近性質 331
6.2.4 奇異微分方程 332
6.2.5 關於本徵值增大的進一步討論、負本徵值的出現 333
6.2.6 本徵值的連續性 335
6.3 完備性和展開定理 339
6.3.1 本徵畫數的完備性 339
6.3.2 展開定理 341
6.3.3 展開走理的推廣 342
6.4 本徵值的漸近分布 343
6.4.1 在矩形上的方程 344
6.4.2 在有限多個方形或立方體所作成的區輯上的方程 345
6.4.3 把結果推廣於一般的微分方程 347
6.4.4 對任意區域本徵值的漸近分布 349
6.4.5 對微分方程而言本徵值的漸近分布規律較精確的形式 354
6.5 薛定誨型的本徵值問題 355
6.6 本徵函式的節 360
6.7 補充材料和問題 364
6.7.1 本徵值的極小性質、由完備性所作的推導 364
6.7.2 用沒有節這個性質來刻畫第一個本徵函式 365
6.7.3 本徵值的另外一些極小性質 366
6.7.4 本徵值的漸近分布 367
6.7.5 雙參數本徵值問題 367
6.7.6 包含參數的邊界條件 367
6.7.7 閉曲面的本徵值問題 368
6.7.8 當杳奇點出現時本徵值的估計 368
6.7.9 暖和膜的極小定理 369
6.7.10 雙質量分布的極小問題 369
6.7.11 施圄姆-劉維爾問題的節點、極大-極小原理 369
參考文獻 370
第7章 本徵值問題所定義的特殊函式 372
7.1 線性二階微分方程的初步討論 372
7.2 貝塞爾函式 373
7.2.1 積分變換的套用 373
7.2.2 漢克爾函式 374
7.2.3 貝塞爾函式和諾伊曼函式 376
7.2.4 貝塞爾函式的積分表示式 378
7.2.5 漢克爾函式和貝塞爾函式的另一積分表示式 380
7.2.6 貝塞爾函式的事級數展開 385
7.2.7 各貝塞爾函式閘的關係 388
7.2.8 貝塞爾函式的零點 394
7.2.9 諾伊曼函式 397
7.3 勒讓德函式 401
7.3.1 施拉夫利積分 401
7.3.2 拉普拉斯的積分表示式 403
7.3.3 第二類勒讓德函式 403
7.3.4 聯屬勒讓德畫數(高階勒讓德函式) 404
7.4 套用積分變換方法于勒讓德、切比雪夫、埃爾米特及拉蓋爾方程 405
7.4.1 勒讓德函式 405
7.4.2 切比雪夫函式 406
7.4.3 埃爾米特函式 407
7.4.4 拉蓋爾函式 408
7.5 拉普拉斯球面調和函式 409
7.5.1 2n+1個π階球面調和函式的確定 409
7.5.2 函式組的完備性410
7.5.3 展開走理 410
7.5.4 泊松積分 411
7.5.5 麥克斯韋一西爾維斯特的球面調和函式表示式 412
7.6 漸近展開 417
7.6.1 斯特林公式 417
7.6.2 當變數值大時漢克爾和貝塞爾函式的漸近計算 419
7.6.3 馬鞍點法 421
7.6.4 套用馬鞍點法計算太參量和太變數的漢克爾函式和貝塞爾函式 422
7.6.5 馬鞍點法的一般討論 426
7.6.6 達布方法 426
7.6.7 套用達布方法于勒讓德多項式的漸近展開 427
7.7 附錄：球面調和函式的變換 429
7.7.1 導言及符號 429
7.7.2 正變變換 429
7.7.3 球面調和函式的一個母函式 432
7.7.4 變換公式 434
7.7.5 直角坐標下的表示式 435
附加參考文獻 438
索引
