泊松方程和拉普拉斯方程

勢函式的一種二階偏微分方程。廣泛套用於電學、磁學、熱學等多種熱場的研究與計算。

基本介紹

• 中文名：泊松方程和拉普拉斯方程
• 本質：勢函式的一種二階偏微分方程
• 套用領域：電學、磁學、力學、熱學等
• 提出時間：1782年
• 證明人：P.S.M.拉普拉斯

簡史

勢函式的一種二階偏微分方程。廣泛套用於電學、磁學、力學、熱學等多種熱場的研究與計算。

1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運動時指出：在引力體系中，每一質點的質量mk除以它們到任意觀察點P的距離rk,並且把這些商加在一起，其總和即P點的勢函式，勢函式對空間坐標的偏導數正比於在 P點的質點所受總引力的相應分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函式滿足偏微分方程：,叫做勢方程，後來通稱拉普拉斯方程。1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質的區域內部,則拉普拉斯方程應修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質的密度。文中要求重視勢函式 V在電學理論中的套用,並指出導體表面為等熱面。

靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程 　若空間分區充滿各向同性、線性、均勻的媒質，則從靜電場強與電勢梯度的關係E=-墷V和高斯定理微分式，即可導出靜電場的泊松方程：

，

式中ρ為自由電荷密度，純數εr為各分區媒質的相對介電常數，真空介電常數εo=8.854×10-12法/米。在沒有自由電荷的區域裡，ρ=0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程

。

在各分區的公共界面上，V滿足邊值關係式中i，j指分界面兩邊的不同分區，σ為界面上的自由電荷密度，n表示邊界面上的內法線方向。

邊界條件和解的唯一性 　為了在給定區域內確定滿足泊松方程以及邊值關係的解，還需給定求解區域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷,叫做諾埃曼邊界條件。

邊界幾何形狀較簡單區域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數，稍複雜的須用計算機求數值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。

除了靜電場之外，在電學、磁學、力學、熱學等領域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。各類物理本質完全不同的勢場如果具有相似的邊界條件，則因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一個勢場的解，或該勢場模型中實驗測繪的等熱面或流線圖，經過對應物理量的換算之後，可以通用於其他的勢場。

靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程 　在SI制中，靜磁場滿足的方程為式中j為傳導電流密度。第一式表明靜磁場可引入磁矢勢(r)描述：　在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度j0的區域裡，磁矢勢滿足的方程為選用庫侖規範，墷(r)=0，則得磁矢勢(r)滿足泊松方程式中純數μr為媒質的相對磁導率， 真空磁導率μo=1.257×10-6亨/米。在傳導電流密度j=0的區域裡,上式簡化為拉普拉斯方程靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。

參考書目

郭碩鴻著:《電動力學》,人民教育出版社,北京,1979。

J.D.傑克遜著,朱培豫譯：《經典電動力學》下冊,人民教育出版社,北京,1980。(J.D. Jackson,Classicalelectrodynamics,John Wilye & Sons,New York,1976.)