《函式空間上的Toeplitz運算元的代數性質》是依託天津大學，由董興堂擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：函式空間上的Toeplitz運算元的代數性質
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：董興堂
- 依託單位：天津大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目致力於函式空間上的Toeplitz運算元及其相關運算元的代數性質的研究，屬於多複變函數論及運算元理論中的前沿熱點課題。我們將研究單位圓盤、單位開球、單位多圓柱上Bergman空間、調和Bergman空間、Dirichlet空間、調和Dirichlet空間上的Toeplitz運算元及Hankel運算元的交換性、準交換性、有限秩問題、等距問題以及兩個Toeplitz運算元乘積什麼條件下能夠等於另外一個Toeplitz運算元等基本的代數性質。同以往在記號函式調和或多重調和的前提下進行研究的思路不同，本項目將首先探討k-擬齊次Toeplitz運算元的基本性質，然後利用極分解式最終得到一般Toeplitz運算元的代數性質，進一步揭示單變數與多變數、不同函式空間上運算元理論的聯繫與不同。
結題摘要
本項目致力於函式空間上的Toeplitz運算元及其相關運算元的代數性質的研究，屬於多複變函數論及運算元理論中的前沿熱點課題。同以往在記號函式調和或多重調和的前提下進行研究的思路不同，本項目首先探討k-擬齊次Toeplitz運算元的基本性質，然後利用極分解式最終得到一般Toeplitz運算元的代數性質，進一步揭示單變數與多變數、不同函式空間上運算元理論的聯繫與不同。通過一年的研究工作,我們取得了一些很好的研究成果，特別是在單位圓盤上調和Bergman空間中的擬齊次Toeplitz運算元代數性質的研究上獲得重大突破,獲得了令人十分驚訝的結果。眾所周知,調和Bergman空間的標準正交基包括解析單項式和共軛解析單項式,而Bergman空間的標準正交基只包括解析單項式。因此Toeplitz運算元代數性質在調和Bergman空間應遠比在Bergman空間上更難滿足。然而我們非常驚訝地發現在研究調和Bergman空間上的兩個擬齊次Toeplitz運算元交換性時只要其交換子作用到幾乎一半的正交基等於零即可,也就是說,有幾乎一半的正交基是用不到的。 然後我們利用這些結論刻畫了兩個擬齊次Toeplitz運算元的交換性,並證明了和解析或共軛解析單項式Toeplitz運算元可交換的Toeplitz運算元只有一些平凡的情況,和徑向Toeplitz運算元可交換的只有徑向Toeplitz運算元。我們獲得的另一個意想不到的結果是：如果調和Bergman空間上的兩個擬齊次Toeplitz運算元乘積等於另外一個Toeplitz運算元，則交換順序後的乘積必也等於此Toeplitz運算元，從而此兩個擬齊次Toeplitz運算元必是可交換的。然後藉助交換性的結果我們給出了擬齊次Toeplitz運算元和單項式Toeplitz運算元乘積等於另外一個Toeplitz運算元的充分必要條件。
