不變多項式

不變多項式是環論中的一個概念。

基本介紹

• 中文名：不變多項式
• 外文名：invariant polynomial
• 所屬學科：環論

定義

設群G的李代數為𝖌，P(𝖌)為多項式代數，Ad:G→GL(𝖌)為G的伴隨表示，則P(𝖌)中多項式p稱為不變多項式，若滿足

p(Ad_gv)=p(v)，v∈𝖌，p∈G 。

相關概念

𝖌上不變多項式的代數記為P_G，是P(𝖌)的子代數。

，其中為上復值對稱r線性多項式代數。反之，將P(t₁A₁+...+t_rA_r)展開為t_i的多項式便得，故稱為P的極化。

例子

給定一般線性代數𝖌𝖑(n)中任一元A，定義i次多項式f_i(A)為det(xI-A)=x_n-f₁(A)x+...+(-1)f_n(A)，則f_i(A)為𝖌𝖑(n)上的i次不變多項式。

令n=2k或2k+1，則𝖔(n)上不變多項式代數P_O(n)由f₂,f₄,...,f_2k生成。

令n=2k+1，則𝖔(n)上不變多項式代數P_SO(n)由f₂,f₄,...,f_2k生成。令n=2k，則𝖔(n)上不變多項式代數P_SO(n)由f₂,f₄,...,f_2k-2,Pf生成。

P_O(n)⊂P_SO(n)。

設A∈𝖚(n)，定義𝖚(n)上不變多項式f₁,...,f_n為det(xI-A)=x-f₁(A)x+...+(-1)f_n(A)。令f_j(A)=f_j(iA)，則𝖚(n)上不變多項式代數P_U(n)由f₁,f₂,...,f_n生成。