仿射不變數

仿射不變數(affine invariant)是仿射變換的一種特徵，指圖形經過任何仿射對應(變換)都不改變的量。共線三點的單比是最基本、最重要的仿射不變數，其他如兩平行的有向線段之比、平行平面(包括同一平面)上兩個封閉圖形的面積比等都是仿射不變數。

基本介紹

• 中文名：仿射不變數
• 外文名：affine invariant
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(仿射幾何)
• 簡介：圖形經過仿射變換不改變的量
• 別名：圖形的仿射性質

基本介紹

給定一組多項式，設是由這組多項式的係數所決定的函式，G是作用在這些係數上的變換群，如果經過變換群G作用後函式值不變，就稱為這組多項式或由這組多項式所組成的方程組在變換群G作用下的不變數(invariant)。當G分別代表運動群、仿射群和射影群時，相應的不變數稱為“度量不變數”、“仿射不變數”和“射影不變數”。例如， 在平面上，關於坐標x、y的二次方程

在運動群G作用下有三個度量不變數：

其中記，在平面直角坐標系中上述二次方程代表,一條二次曲線，也稱為二次曲線的度量不變數，按照它們的符號，能夠對二次曲線作出度量分類，尋找和研究不變數，是幾何學中一個重要的問題。

分比(proportion by subtraction)亦稱“單比”，直線上三點P₁、P₂、P₃的分比是。分比是仿射不變數，而且是基本不變數，即：任一仿射不變數都可用分比的一個函式來表達。

相關定理和推論

圖形經過任何仿射變換後都不變的性質(量)，稱為圖形的仿射性質(仿射不變數)。

註：同素性，結合性，平行性和共線三點單比不變是基本的仿射性質。

有關仿射性質的一些定理和推論：

定理1 兩條平行直線經過仿射變換後仍變為兩條平行直線。

推論1 兩條相交直線經過仿射變換後仍變為兩條相交直線。

推論2 共點直線經仿射變換後，仍變為共點直線。

定理2 兩條平行線段之比是仿射不變數.

定理3 兩個三角形面積之比是仿射不變數。

推論1 兩個多邊形面積之比是仿射不變數。

推論2 兩個封閉圖形面積之比是仿射不變數。

典型例題分析

例1 兩條平行線段之比是仿射不變數。

證明 設線段AB平行於線段CD，經過仿射變換後，其對應線段A'B'C'D'互相平行，下面我們只須證明

圖1

如圖1所示連線BD，作CE // BD交AB於E。由於仿射變換保持結合性和平行性，所以E的對應點E'在A'B'上，且C'E' // B'D'，又因為仿射變換保持共線三點的單比，所以有

即

而

所以

綜上所述，兩條平行線段之比經仿射變換後不變。