仿射不變數

仿射不變數

仿射不變數(affine invariant)是仿射變換的一種特徵,指圖形經過任何仿射對應(變換)都不改變的量。共線三點的單比是最基本、最重要的仿射不變數,其他如兩平行的有向線段之比、平行平面(包括同一平面)上兩個封閉圖形的面積比等都是仿射不變數。

基本介紹

  • 中文名:仿射不變數
  • 外文名:affine invariant
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等幾何(仿射幾何)
  • 簡介:圖形經過仿射變換不改變的量
  • 別名:圖形的仿射性質
基本介紹,相關定理和推論,典型例題分析,

基本介紹

給定一組多項式,設
是由這組多項式的係數所決定的函式,G是作用在這些係數上的變換群,如果經過變換群G作用後函式值
不變,就稱
為這組多項式或由這組多項式所組成的方程組在變換群G作用下的不變數(invariant)。當G分別代表運動群、仿射群和射影群時,相應的不變數
稱為“度量不變數”、“仿射不變數”和“射影不變數”。例如, 在平面上,關於坐標x、y的二次方程
在運動群G作用下有三個度量不變數:
其中記
,在平面直角坐標系中上述二次方程代表,一條二次曲線,
也稱為二次曲線的度量不變數,按照它們的符號,能夠對二次曲線作出度量分類,尋找和研究不變數,是幾何學中一個重要的問題。
分比(proportion by subtraction)亦稱“單比”,直線上三點P1、P2、P3的分比是
。分比是仿射不變數,而且是基本不變數,即:任一仿射不變數都可用分比的一個函式來表達。

相關定理和推論

圖形經過任何仿射變換後都不變的性質(量),稱為圖形的仿射性質(仿射不變數)。
註:同素性,結合性,平行性和共線三點單比不變是基本的仿射性質。
有關仿射性質的一些定理和推論:
定理1 兩條平行直線經過仿射變換後仍變為兩條平行直線。
推論1 兩條相交直線經過仿射變換後仍變為兩條相交直線。
推論2 共點直線經仿射變換後,仍變為共點直線。
定理2 兩條平行線段之比是仿射不變數.
定理3 兩個三角形面積之比是仿射不變數。
推論1 兩個多邊形面積之比是仿射不變數。
推論2 兩個封閉圖形面積之比是仿射不變數。

典型例題分析

例1 兩條平行線段之比是仿射不變數。
證明 設線段AB平行於線段CD,經過仿射變換後,其對應線段A'B'C'D'互相平行,下面我們只須證明
仿射不變數
圖1
如圖1所示連線BD,作CE // BD交AB於E。由於仿射變換保持結合性和平行性,所以E的對應點E'在A'B'上,且C'E' // B'D',又因為仿射變換保持共線三點的單比,所以有
所以
綜上所述,兩條平行線段之比經仿射變換後不變。

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