基本介紹
- 中文名：度量不變數
- 外文名：metric invariant
- 一級學科：數理科學
- 二級學科：數學
- 類型：數學術語
- 又稱：正交不變數
度量,正交變換,度量不變數簡介,在某些拓撲下的連續性,
度量
度量（metric）亦稱距離函式，是度量空間中滿足特定條件的特殊函式，一般用d表示。度量空間也叫做距離空間，是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇（Fréchet，M.R.）將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。
在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。
正交變換
因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地，標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。
在有限維空間中，正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1，故正交變換的行列式為+1或−1。行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的（對應旋轉變換）和第二類的（對應瑕旋轉變換）。可見，歐幾里得空間中的正交變換隻包含旋轉、反射及它們的組合（即瑕旋轉）。
度量不變數簡介
度量不變數（metric invariant）亦稱正交不變數，是正交變換的一種特徵，指在正交變換下保持不變的量。例如，兩點之間的距離、兩直線間的夾角、圖形的面積等均是度量不變數。其中，兩點之間的距離是最基本的度量不變數，其他度量不變數都可以由該不變數表示出來。
在某些拓撲下的連續性
度量不變數就是用來“測量距離空間及其子集的尺子”。隨著人們掌握的度量不變數越來越多，人們能夠越來越精確地刻畫與區分所研究對象的幾何差別。常見的度量不變數很多，比如直徑，面積，體積，覆蓋半徑，裝填半徑及各種寬度。
Gromov-Hausdorff距離是對通常的Hausdorff距離的一般化。Hausdorff距離是指同一距離空間中兩個子集的距離，而Gromov-Hausdorff距離指的是兩個距離空間之間的距離。後者直觀上就是將兩個距離空間放置到一個“更大”的距離空間時，尋找出一個最好的放置方式使得這兩個距離空間的Husdorff距離最小，這樣就定義了兩個距離空間的距離。在所有由緊緻距離空間構成的集合中，Gromov-Hausdorff距離確定的拓撲就是Gromov-Hausdorff拓撲。
那么這些度量不變數在Hausdorff拓撲以及Gromov-Hausdorff拓撲下的連續性或收斂性會是怎樣的呢?
相關結論如下：
（1）對於有界的度量空間，直徑函式在Gromov-Hausdorff拓撲下是連續的。進一步，半徑函式，第一覆蓋半徑，第二裝填半徑在Gromov-Hausdorff拓撲下是連續的。
（2）對歐式空間R中的子集，第k個寬度函式和對R中的凸集，第(n一1)個平均寬度函式在Hausdorff距離下是連續的。
（3）道路長度函式關於道路一致收斂拓撲是下半連續的。
