《有限維空間凸體的Banach-Mazur距離等不變數》是依託蘇州科技大學，由國起擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限維空間凸體的Banach-Mazur距離等不變數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：國起
- 依託單位：蘇州科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究有限維空間上凸體間的Banch-Mazur距離（簡記B-M）、凸體非對稱度、體積比等Banach空間局部理論與凸幾何分析中極其重要的一些仿射不變數的基礎性質及相關的幾何不等式。研究內容涉及Banach空間局部理論、現代凸幾何理論、Brunn-Minkowski理論、凸集逼近理論等多個研究領域。.目標是嘗試解決B-M距離的最佳上界、常寬體中的最小體積體和3維Mahler猜測等公開問題：確定若干幾何不變數的確界、研究新近發現的p非對稱度等與B-M距離的關係；採用仿射函式族法、集值映射不動點理論方法，建立B-M距離與類雙隨機擾動矩陣之間的關係及若干有關體積、混合體積的幾何不等式並由此對上述公開問題進行研究。在逐步解決問題的同時形成一套較系統的凸幾何的分析研究方法。本項目研究的問題與理論是當今十分活躍的研究領域，所以本項目的立項與完成具有重要的理論意義與價值。
結題摘要
本項目研究有限維凸體的性質，特別是相關幾何仿射不變數的基礎性質及相關的幾何不等式，以及凸集上各類映射的性質。取得了較好的研究成果：發現了新的非對稱度；得到了幾種不同非對稱度在等寬體（簡約體）類中的分布情況；系統研究了Banach-Mazur距離各種不同定義的等價性，為最終解決最佳上界估計問題提供了基礎；推廣了一些已知的幾何不變數；發現了凸性的另外一種推廣形式，研究了凸集上多類運算元/映射及其不動點性質等。形成了一套利用分析學工具研究幾何問題的方法，為今後進一步的深入研究工作打下了良好的基礎。具體的 證明了p-非對稱度具有比較典型的性質，特別是證明了兩個凸體的乘積凸體和協乘積凸體的p-非對稱度與原來兩凸體的非對稱度之間具有確定的關係。這些性質暗示p-非對稱度或許是某一類所謂凸體“擬賦值”的典型代表；發現了凸體的對偶平均Minkowski非對稱度、並證明了此非對稱度確實是平均Minkowski非對稱度的對偶概念。發現了p-非對稱度與L_p-混合體積之間的關係，從而利用Orlicz-混合體積作為工具，提出了凸體Orlicz-非對稱度的概念，並證明了其與p-非對稱度具有幾乎一樣的性質；給出了等寬體類上p-非對稱度、Minkowski非對稱度的分布及相應的極值體（即使非對稱度取得最大或最小值的凸體）；證明了在一般n-維等寬體類中1-非對程度最大的等寬體就是體積最小的等寬體。證明了常見的幾種Banach-Mazur距離不同形式定義的等價性，並給出了一個沒有顯含仿射映射的等價描述。通過引進凸體“非單形度”的概念，給出了單形與一般凸體之間Banach-Mazur距離最佳上界的一個精確估計；在Banach-Mazur距離下，四面體逼近一般多面體時，處於“最佳位置”的條件。 證明了嚴格凸簡約體的任何一個端射線方向都是寬度方向。在平面上，建立了Orlicz差體的Rogers-Shephard不等式。研究了凸集上非擴張、漸近非擴張、偽壓縮、漸近偽壓縮、Lipschitz偽壓縮、漸近半偽壓縮等特殊自映射、非自映射不動點的存在性條件，及各種不同逼近疊代列的強弱收斂性。 培養10名碩士研究生，在已經畢業的7名研究生中，3人考取了博士研究生。
