《有限維Banach幾何與關於凸體覆蓋的Hadwiger猜想》是依託哈爾濱理工大學，由吳森林擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限維Banach幾何與關於凸體覆蓋的Hadwiger猜想
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳森林
- 依託單位：哈爾濱理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
通過視有限維歐氏空間中中心對稱的凸體為有限維Banach空間中的球,將Banach幾何中關於單位球和單位球面的覆蓋、數量幾何、空間的Banach-Mazur距離、Banach空間中的基和廣義正交的思想方法及工具引入到關於凸體覆蓋的Hadwiger猜想這一源於凸幾何並持續了近60年的公開難題的研究中,並致力於完全解決該猜想關於中心對稱凸體的情形.利用凸幾何中關於凸體的表面結構、凸體的覆蓋和照亮、凸體間的Banach-Mazur距離、凸體的Helly維數、特殊的凸體特別是凸多面體的方法和工具,通過多種不同方案嘗試在該猜想一般情形的研究中取得實質性進展.需要解決的關鍵科學問題包括在有限維Banach空間中尋找滿足特殊性質的Auerbach基、估計凸體覆蓋數和覆蓋泛函的上界、估計特殊凸體之間的Banach-Mazur距離、解決宗傳明關於凸體遮擋數的猜想及將Hadwiger猜想遞歸到凸多面體的情形.
結題摘要
本項目利用Banach空間理論特別是有限維Banach幾何和廣義正交理論重點研究了n維歐氏空間R^n中關於凸體覆蓋的Hadwiger猜想 (簡稱為 (H) 猜想) 這一來自於凸幾何, 離散幾何和組合幾何的交叉領域的持續了60餘年的公開難題. 給出了 (H) 猜想的兩個等價表示; 利用引入凸體的廣義alpha遮擋數的概念給出了中心對稱凸體覆蓋數上界的更好估計, 給出了克服中心對稱凸體覆蓋數的上半連續性的一個可行辦法; 刻畫了中心對稱凸體照亮冠的若干幾何性質, 給出了與之相關的內積空間的若干特徵性質; 給出了l_\infty^n和l_1^n空間的若干特徵性質並討論了這些特徵性質的穩定性; 得到了n維凸體覆蓋泛函取值為1/2的充要條件, 給出了平面中心對稱凸體覆蓋泛函的精確表示, 得到了中心對稱凸體覆蓋泛函取值的一般估計, 取得了其他幾類特殊凸體覆蓋泛函取值的估計; 給出了凸體邊界的覆蓋泛函的定義和基本性質, 得到了平面凸體邊界的覆蓋泛函取值的精確表示; 給出了中心對稱凸體邊界的覆蓋泛函的一般估計. 鑒於 (H) 猜想關於中心對稱凸體的特殊情形與有限維Banach幾何之間的天然聯繫, 刻畫了畢達哥拉斯正交的圓唯一性; 證明了等腰正交的齊次方向與幾乎齊次方向等價; 解決了有關反轉Birkhoff正交的線性運算元的一個公開問題; 並利用I-向量, P-向量, IP-向量等概念改進了前人在Banach-Mazur旋轉問題方向由等距反射向量給出的Hilbert空間的特徵性質. 在賦范線性空間中的完備集方向, 糾正了前人關於完備集和不可縮集之間關係的一個錯誤敘述並促使同行學者開始考慮賦范線性空間中既完備又不可縮的凸集是否是常寬集這一困難問題; 給出了將賦范線性空間中的有界集完備化的若干方法; 得到了有界集與它的寬球包的邊界和緊球包的邊界之間的關係. 本項目在相關方向發表學術論文22篇, 其中16篇被SCI檢索, 7篇論文為與國外學者合作完成; 項目組2名成員獲黑龍江省科學技術二等獎1項; 2名成員博士後出站, 1名成員取得博士學位, 7名參與本項目的研究生取得碩士學位; 項目組承辦了 第五屆分析數學及其套用國際學術會議, 1名成員受德國DAAD基金會資助赴德合作研究1人次; 在國內舉辦的學術會議做學術報告6次; 成立了哈爾濱理工大學 凸性及其套用研究所.
