《紐結和圖的多項式不變數》是依託廈門大學，由金賢安擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：紐結和圖的多項式不變數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：金賢安
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
用組合方法研究紐結在國外已有長足發展。本項目將在申請者的已有工作基礎上，首先圍繞紐結論中的Jones多項式及其推廣Homflypt和Kauffman等多項式不變數展開。我們將建立上述紐結多項式與圖多項式（如，賦權圖的Tutte多項式）的更一般的關係，通過圖多項式研究紐結多項式不變數。研究的問題包括：大的塊狀紐結的上述紐結多項式的計算以期解決拓撲學家關心的上述多項式是否區分平凡紐結這一紐結多項式理論中基本的公開問題或推進此問題的研究；研究統計物理學家所關心的紐結多項式的零點的極限點分布問題和拓撲學家提出的有關紐結多項式零點的猜想。另外，我們還將研究virtual紐結（它是經典紐結的推廣）的紐結多項式（如，Miyazawa多項式）與ribbon圖的Bollobas-Riordan多項式的關係，這是當前組合紐結論研究的一個前沿領域。
結題摘要
用組合圖論方法研究紐結在國外被稱之為組合紐結論。 本項目主要研究組合紐結論中的以下問題：“塊狀”鏈環的鏈環多項式的計算、紐結多項式的零點和virtual紐結多項式與圖多項式的關係。紐結多項式與圖多項式密切關聯，前兩個研究內容都不僅涉及紐結多項式，還涉及圖多項式。第三個研究內容涉及帶子圖的部分對偶。主要研究進展和成果如下： a.建立了一類“塊狀”鏈環的HOMFLYPT多項式的計算方法，即將大鏈環切割成小塊，得到了相應多項式的組裝方式。 b.找到了圖的Jones多項式零點的模關於圖的最大度的一個界，部分驗證了X.-S. Lin的猜想。在實零點研究方面也取得了進展，證明了Jones多項式的零點可無限接近0和1。 c.在探索虛紐結多項式與圖多項式的關係方面，研究工作做了些調整。先研究了帶子圖，我們通過中間圖半邊定向刻畫了帶子圖的哪些部分對偶圖是Euler圖，該研究解決並推廣了文[S. Huggett, I. Moffatt, Bipartite partial duals and circuits in medial graphs, Combinatorica 33 (2) (2013) 231-252]中提出的一個公開問題。 其它相關方面: 研究了經典Pretzel鏈環的HOMFLY和Kauffman多項式的計算；給出了具有自相似結構的兩類圖（MKGs和Austria graphs）和一類六角系統圖的Tutte多項式的計算方法；研究了流多項式的零點分布；研究了紐結的辮子指標和著色；研究了圖的特徵多項式的零點；研究了clique-inserted圖的臨界群等等。 以上研究不僅局限於圖論和紐結論方面，還與數學的其它學科密切相關，如拓撲學和代數學等。除了數學，項目研究內容還涉及統計物理、數學化學和分子生物學。所取得的成果除了具有重要的理論意義，有些成果（如DNA和蛋白質多面體鏈環方面的結果）還存在潛在的套用價值。
