《齊性空間和紐結的同調不變數》是依託北京師範大學，由趙旭安擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：齊性空間和紐結的同調不變數
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：趙旭安
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究齊性空間和紐結的的同調不變數，研究內容有以下兩個方面：一、緊李群及Kac-Moody群及其齊性空間（特別是旗流形）的同調的計算。其中包括有理上同調和模p上同調及其上的Hopf代數結構的計算；廣義上同調理論，主要是K-理論和配邊理論；T-等變的廣義上同調理論等等。二、紐結理論的同調不變數。研究主要集中在紐結對應的quandle和一般quandle的同調理論及其在低維拓撲中的套用。主要關心以下問題： 1. 紐結quandle到任一有限quandle同態的判定問題；2. quandle同調不變數的幾何拓撲解釋； 3. 正quandle同調群在紐結理論中的套用；4. 多個滿足右分配律二元運算的quandle同調群的計算及其套用。上述研究都是與其它數學分支密切聯繫，引人關注的問題。其研究需要綜合運用代數、幾何、拓撲、表示論和組合等多方面的工具和方法，很有意義。
結題摘要
本項目研究齊性空間和紐結的同調不變數。研究內容有以下兩個方面：一、Kac-Moody群及其齊性空間（特別是旗流形）的同調的計算。其中包括有理上同調和模p上同調及其上的Hopf代數結構的計算，Kac-Moody群的分類空間的上同調等。二、紐結的同調不變數等。研究主要集中在紐結對應的quandle和一般quandle的同調理論及其在紐結理論和低維拓撲中的套用。在Kac-Moody群及其齊性空間的研究中，我們證明了generic的Kac-Moody群的有理同倫群在Samelson乘積下構成的李代數是自由李代數，並計算出相應分次李代數的每個次數的齊次生成元的個數，確定了相應的有理同調Hopf代數；構造了譜序列來計算Kac-Moody群的分類空間的上同調群；給出了秩為3的Kac-Moody群的分類空間的有理和mod p同調的計算結果；證明了極大環面到Kac-Moody群的包含映射誘導出的分類空間的上同調同態的核為冪零子環，像恰好為Weyl群的不變數子環；計算了經典的仿射Kac-Moody群的Weyl群不變數；證明了秩大於2的不定型Kac-Moody群及其旗流形的上同調環是無限生成的。這些結果將豐富人們對Kac-Moody群及其相關空間的拓撲的理解，並引發進一步的研究工作。在紐結理論及Quandle的研究中，我們在虛弦鏈環上定義了兩種多項式不變數，證明了它們可以區別手性並且是同倫不變數；對於兩個分支的虛弦鏈環，定義了一個超越函式型不變數；定義了一類取值於平坦虛鏈環生成的Z-模中的虛紐結不變數，這種不變數包含了更早期的一些不變數；證明了這類不變數是一階的有限型不變數；證明了當係數群取整數加群時，quandle cocycle不變數和positive quandle cocycle不變數均會退化到quandle染色不變數；利用biquandle cocycle，定義了一類新的虛鏈環弦的指標，並將弦指標的定義從單分支的虛紐結推廣到了任意分支的虛鏈環。引入了indexed quandle的概念，並利用其定義了一類新的虛紐結染色不變數；研究了帶基點平面樹的plucking多項式，給出了一個多項式能夠實現為一個帶基點平面樹的plucking多項式的充分必要條件和兩個平面樹具有相同的plucking多項式的充分必要條件。上述研究內容與其它數學分支聯繫密切，很有意義。
