流體紐結的多項式拓撲不變數的研究

《流體紐結的多項式拓撲不變數的研究》是依託北京工業大學，由劉鑫擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：流體紐結的多項式拓撲不變數的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉鑫
• 依託單位：北京工業大學

項目摘要

本項目著重於流體力學的拓撲方面，目標是獲得比目前國際通用的纏繞數方法更強的流體紐結拓撲辨識工具，如多項式及其他拓撲不變數。這一研究很重要，原因在於紐結的拓撲與能量密切相關。纏繞數方法是1969-1992年由劍橋大學Moffatt和Ricca（本項目主要參與人）發展起來的，在處理拓撲守恆系統時表現較好；但對拓撲非守恆現象（如磁重聯和紐結碎裂）則暴露出嚴重不足，尤其是在拓撲辨識能力和能量計算一致性方面。為解決這個問題，最近本項目申請人與Ricca合作發展出一套紐結多項式方法。該方法引起理論界廣泛關注，目前已獲多項榮譽，包括多個國際高等級學術會議全會報告（Keynote talk）等。本項目是這一工作的繼續和向更高層次的發展。預期結果包括：基於流體螺旋度，構造HOMFLYPT紐結多項式、Kontsevich積分和Vassiliev拓撲不變數；對已建立的流體紐結多項式理論進行進一步實踐檢驗。

結題摘要

本項目執行順利，成果豐富，具有重要的科學意義。項目背景：流體渦旋激發的拓撲示性需要更有力的理論工具，超越傳統的紐結纏繞數方法，從而把缺陷結構的判定轉化為拓撲代數問題來研究。項目內容包含三個方面。首先，發展流體渦旋紐結的拓撲示性工具，得到適當的代數空間並加以套用。其次，將上述方法套用到早期宇宙背景場，在流體力學繪景下得到多項式拓撲不變數來標示暗能量場拓撲缺陷所形成的宇宙弦；套用到二維新拓撲材料，研究量子反常霍爾系統的紐結理論描述。第三，舉辦拓撲流體力學和紐結場論方面的國際會議，將這一國際的熱點方向在我國進行大力普及與推廣。重要結果和關鍵數據：首先，我們重點研究流體紐結多項式不變數工具的使用，以實現Arnold（Wolf獎得主）的猜想：把物理系統的複雜度與代數拓撲空間綁定，從而前者向低複雜狀態的自發退化過程可以用後者的代數降階過程來描述。我們有兩個發現；一是環面流體紐結/鏈環的多項式數值上呈單調遞降；另一個是，如果把流體紐結多項式對應到抽象代數空間的點，則物理退化過程中所涉及到的一系列中間狀態，其對應點恰形成單調降落曲線。此事實恰可用來解釋最近加州戴維斯分校Vazquez組DNA重組實驗、芝加哥大學Irvine組水渦旋重聯實驗所觀察到的現象。其次，上述方法成功套用到宇宙弦拓撲描述和量子霍爾效應方面，為設計高拓撲數的二維新材料提供了新思路。第三，舉辦的暑期學校和國際學術論壇是繼歐洲（2017德國弗萊堡大學）、北美（2019美國明尼蘇達大學）之後在亞洲舉辦的又一次“講習班+學術研討會”模式的盛會。歷時10天，共有來自12個國家的學者學生約80人參加，其中外籍20人。活動採用雲會議模式全程直播，授課講義將由Springer出版社結集出版。科學意義：項目成果可為探索湍流的結構形成和演化機理提供新思路，使拓撲流體力學這一國際主流方向在我國獲得蓬勃發展。