《紐結不變數的新構造方法及複雜紐結的局部性質》是依託大連理工大學,由楊志青擔任醒目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：紐結不變數的新構造方法及複雜紐結的局部性質
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊志青
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
紐結不變數是紐結理重要的工具，同時也是主要被研究的對象之一。申請者最近的工作[Y1][Y2] 對於紐結交叉點的不同類型採用多個不同的拆接關係，推廣了紐結不變數的構造方法。在此基礎上，本項目可預期的結果如下：1.構造由區域染色得到的一般不變數，並尋找它的套用。2.得到拆接關係包含以下信息的紐結不變數：紐結各弧段染色，各區域染色。希望它能識別紐結的定向。3. 構造三維流形的不變數4. 構造依賴交叉點解開次序的紐結不變數。5.構造由代數幾何得到的新紐結不變數並尋找其套用。6.已有紐結不變數得到的代數很複雜，計算它的Grobner基，或得到較容易使用的替代品。7．研究tangle T可以嵌入鏈環L的條件，判別方法。8. 研究一般tangle為本質打結、連結的判定條件。9．研究一般tangle方程的基本性質。10.將經典的紐結多項式推廣到tangle上。
結題摘要
三維流形是拓撲學中的一個重要分支。紐結理論是其最活躍的分支之一。而紐結不變數是研究紐結的重要方法，也是主要的研究對象之一。已有的紐結不變數區分紐結的能力較強，但還遠不令人滿意。 （1）對於一個交叉點我們得到多種新的解開方法。經典的不變數是由一個拆接關係式定義，我們使用多個拆接關係式定義。結合這兩方面我們得到一種紐結不變數，它是HOMFLY和Kauffman2變元多項式的推廣。利用“鑽石引理”，可以大大化簡了該不變數的計算。（2）我們由區域染色得到的紐結不變數，它是一種新的代數結構。由它也可以構造一個矩陣，其各階主子式的公因子也是一個紐結多項式不變數。它與Alexander多項式不同，含兩個變元。（3）Sam Nelson構造了Biquandle Brackets，它取值在一個有限環中，能夠區分Homfly多項式不能區分的一些紐結對。我們得到一種括弧多項式，是Nelson不變數的推廣。它有無限種取值，此外它可以自然地推廣到虛紐結。（4）此外，在Kauffman括弧的定義式中引入虛交叉點解法，我們也得到了Kauffman括弧的一種推廣。該不變數是必須利用虛紐結才能對經典紐結定義。 Heegaard分解是研究三維流形的主要手段之一。（1）在存在性方面，我們證明，對於任意的n ≥ 2，g ≥ 2，存在無窮個雙曲三維流形，具有虧格為g，距離為n的Heegaard分解。（2）在穩定化方面，我們證明，若一個Heegaard分解的距離大於5，則對其做邊界穩定化後得到的三維流形是不可穩定化的。從而得到這樣的例子，M具有兩個不可穩定化的Heegaard分解，它們具有不同的虧格。若距離大於8，則對其做雙邊的自融合後得到的eegaard分解是不可穩定化的，不可約的。 （3）在三維流形粘合方面，我們證明，對於兩個不可穩定化的Heegaard分解沿平面的子曲目粘合得到的Heegaard分解是不可穩定化的。對於一個不可穩定化的Heegaard分解沿平面的子曲目粘合得到的Heegaard分解是不可穩定化的。（4）對於曲線復形，項目組成員還推廣了J.Hempel的構造，定義了新的距離。並且在新的距離下，證明了曲線復形是 δ雙曲的。
