《紐結理論與虛紐結理論中的一些問題》是依託北京師範大學，由程志雲擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：紐結理論與虛紐結理論中的一些問題
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：程志雲
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
紐結理論主要研究圓周在三維球面中的不同嵌入，類似的，虛紐結理論主要研究圓周在加厚的曲面中的不同嵌入。除此之外，虛紐結理論也與高斯圖的實現密切相關。本項目旨在通過對於紐結不變數的研究來揭示紐結以及虛紐結的一些性質。 1. 紐結理論和虛紐結理論中最重要的問題之一便是區分紐結。特別的，在虛紐結理論中我們還特別關心什麼樣的虛紐結是經典的。我們希望通過尋在一些強有力的不變數來探測這一點。同時，這些不變數亦能提供某些關於紐結其他基本性質的信息，諸如交叉數或者手性等。 2. 和經典的紐結理論類似，虛紐結同樣有著辯群的表示。我們希望通過這個觀點來系統地研究虛紐結。諸如虛辯群的表示，以及通過這種觀點得到一些量子不變數等等。 3. 虛紐結作為更一般化的紐結，與經典的紐結有很多自然的聯繫。我們計畫通過對於虛紐結的研究，從虛紐結的觀點給出一些經典紐結中的不變數。同時，利用研究虛紐結的方法研究一些經典紐結中的問題。
結題摘要
紐結理論主要研究歐式空間中嵌入的圓環。我們成兩個紐結是等價的如果一個可以由另一個通過同痕變化得到。自上世紀八十年代Jones引入Jones多項式以來，紐結理論在現代數學中扮演著重要的角色。特別的，紐結理論與三維流形，四維流形，拓撲量子場論，統計物理均有緊密的聯繫。此外，紐結理論在化學，生物等其他學科中也有直接的套用。 本項目主要研究對象是一類更加一般的紐結，即虛紐結。簡單的說，所謂一個虛紐結，值的是一個加厚的高虧格曲面中嵌入的圓環。我們主要關注虛紐結那些由弦指標推導得到的不變數，這裡弦指標是一個由我們先前的工作中得到的概念。 首先我們研究了quandle的上同調理論。所謂一個quandle，指的是一個具有某種類似於群的代數結構的集合。對於一個給定的quandle，我們可以定義一個由該quandle染色得到的紐結染色不變數。2003年，J S Carter等人引入了quandle的上同調群。在本項目中，我們定義了quandle的另外一種同調理論，我們稱之為正上同調。關鍵的地方在於，對於一個給定的正的二維（三維）上閉鏈，我們可以定義一個加強的紐結（打結曲面）染色不變數。 其次，通過細緻考察biquandle的二維上同調群，我們給出了一種更加一般的弦指標的構造方式。我們指出該弦指標可以用來定義虛紐結的有限型不變數。此外，結合該弦指標和Jones多項式以及quandle的染色不變數，我們得到了一類推廣的Jones多項式和quandle染色不變數。作為套用，我們給出了這些新的虛紐結不變數在經典紐結理論中的一些套用。
