基本介紹
- 中文名：馬爾可夫半群
- 外文名：Markov semigroup
- 別名：馬爾可夫轉移半群
- 領域：代數
- 對象：馬爾可夫過程
- 對象性質：隨機過程
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概念介紹
馬爾可夫半群亦稱馬爾可夫轉移半群。是一種運算元。指由齊次馬爾可夫過程的轉移函式定義的半群運算元。設(E，E)為可測空間，B(E)為E上所有E可測有界實值函式的空間。在B(E)中引入範數‖f‖=sup|f(x)|，則B(E)就成為巴拿赫空間。令{X(t)，t∈R+}是以(E，E)為相空間的齊次馬氏過程，它的轉移函式為P(t，x，B).在B(E)上定義運算元Tt：
運算元Tt與T*t有著共軛的關係。但這種關係不是完全的，因為B(E)與M(E)中一般沒有一個是另一個的整個共軛空間。雖然如此，人們還是只需研究兩個半群中的一個就可以了。一般地，研究{Tt}較為方便些。
對於非齊次情形，也相應有類似的帶有兩個參數的半群運算元族{Ts，t}與{T*s，t}。
半群
半群是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半群。半群(S，·)簡記為S。
半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。半群代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半群的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於群論和環論之外.在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數理論》，這對半群代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關半群理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數學家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後).半群代數理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓撲和序理論。
運算元半群
運算元半群是依賴於參數且對乘法運算封閉的運算元族。設X是線性空間，Tt(t≥0(或t>0))是X上的線性運算元。如果對任何t1，t2≥0(或>0)，有Tt1Tt2=Tt1+t2，則稱{Tt|t≥0(或t>0)}為單參數運算元半群，或簡稱運算元半群。顯然，運算元半群即把參數t的加法半群(因限制t≥0或t>0故僅是加法半群)變成運算元(按運算元乘法)的半群。對於半群{Tt|t≥0}，通常總加上假設T0=I。在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間(重要的是局部凸拓撲線性空間)，並且把{Tt|t≥0(或t>0)}視定義在[0，+∞)(或(0，+∞))上運算元值函式時，還要假設有某種連續性，具體可見C0類運算元半群，C0類等度連續運算元半群，解析運算元半群等。上面談的是線性運算元半群，此外還有非線性運算元半群。
運算元半群理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的運算元半群和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、機率論(馬氏過程)、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。
馬爾可夫過程
馬爾可夫過程簡稱馬氏過程。一類重要的隨機過程。設{X(t)，t∈R+}為定義在機率空間(Ω，F，P)上取值於可測空間(E，E)的隨機過程，{Ft}t∈R為(Ω，F)的上升σ域族，Ft=σ(X(s)，s∈[t，+∞))。如果下面的性質1成立：
- ᗄt∈R+， A∈Ft，B∈Ft： P((A∩B)|X(t))=P(A|X(t))P(B|X(t))。
則稱過程{X(t)}為馬爾可夫過程，可測空間(E，E)稱為馬爾可夫過程{X(t)}的狀態空間。一般情形下，因為要考慮形如{X(t)=x}集合的機率，人們還要求E包含所有單點集{x}。性質1與下列性質之一等價：
2.ᗄt∈R+， B∈Ft： P(B|Ft)=P(B|X(t)).
3.ᗄt∈R+， A∈Ft： P(A|Ft)=P(A|X(t)).
注意，若性質1，2，3成立，則把其中的{Ft}換成{X(t)}的自然σ域族{Ft}後相應的性質仍成立。而且這時性質2有如下的直觀意義：當已知系統在時刻t以前(含t)的歷史時，系統在t以後的發展只依賴於系統在時刻t的狀態而與它在t以前的情況無關。此即所謂馬爾可夫性，這正是馬爾可夫過程的本質所在。
應當指出，儘管一些著作中也把馬爾可夫性稱為無後效性，但它和多數著作(包括本書)中提到的無後效性是不一樣的。後者是指過程的獨立增量性質。相對於此，馬爾可夫性只是一種條件無後效性。
