無窮小運算元

無窮小運算元(infinitesimal operator)亦稱無窮小生成元，是隨機過程理論的重要概念，它可對任意巴拿赫空間上的任一運算元半群來定義，是由運算元半群決定的閉線性運算元。

基本介紹

• 中文名：無窮小運算元
• 外文名：infinitesimal operator
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：隨機過程理論的重要概念
• 別名：無窮小生成元

基本介紹

無窮小運算元亦稱無窮小生成元，隨機過程理論的重要概念。它可對任意巴拿赫空間上的任一運算元半群來定義。此處是對馬爾可夫半群而言，如果下面二式右端極限按範數意義存在，則記

定義運算元A：

記為的定義域，則有。運算元A稱為馬氏過程的(強)無窮小運算元。若(1)，(2)的極限是弱收斂極限(即若有界，且對每一，則稱弱收斂於，記為)，並稱相應的運算元為弱無窮小運算元。無窮小運算元A是線性的，但未必有界。

馬爾可夫過程的無窮小運算元

定義

設為某可測空間，為作用於中的壓縮運算元半群。由公式決定的運算元稱為半群的無窮小運算元(infinitesimal operator)，若

的定義域為{，且對一致存在}。

無窮小運算元性質

無窮小運算元性質：

(1) 集依範數收斂(稱強收斂)意義下的閉包與集{且}重合；此處。

(2) 如，則 且；

(3) 如，則對強可微，且；這裡強可微是指強收斂意義下可微。

(4) 運算元A封閉。