預解運算元族

預解運算元族（resolvent operators）亦稱預解式，是研究馬爾可夫半群和對應的無窮小運算元的重要工具。對每一複數λ(Reλ>0)，定義運算元R_λ，R_λ至少在B0上有定義，運算元族{R_λ}稱為馬爾可夫半群{T_t}的預解運算元族。

對每個複數λ(Re λ>0)，R_λ是線性有界運算元。雖然預解運算元族不一定能唯一地決定半群{T_t}(因為對任意x，Γ∈E由Rλ只能對幾乎所有t>0求出P(t，x，Γ)，而不是對所有t>0)，但在研究T_t與它的無窮小運算元A的關係時，R_λ是一個重要工具。

基本介紹

• 中文名：預解運算元族
• 外文名：resolvent operators
• 別名：預解式
• 套用：馬爾可夫半群
• 工具：馬爾可夫過程的轉移函式
• 學科：數學

定義

預解運算元族（resolvent operators）亦稱預解式，是研究馬爾可夫半群和對應的無窮小運算元的重要工具。和無窮小運算元A一樣，此處仍只考慮馬爾可夫過程的轉移函式。對每一複數λ(Reλ>0)，定義運算元R_λ：

此處積分按黎曼意義(收斂是按範數意義)。R_λ至少在B₀上有定義，運算元族{R_λ}稱為馬爾可夫半群{T_t}的預解運算元族。

對每個複數λ(Re λ>0)，R_λ是線性有界運算元。雖然預解運算元族不一定能唯一地決定半群{T_t}(因為對任意x，Γ∈E由R_λ只能對幾乎所有t>0求出P(t，x，Γ)，而不是對所有t>0)，但在研究T_t與它的無窮小運算元A的關係時，R_λ是一個重要工具。

推導過程

設P(t，x，B)是時齊馬氏過程X={X_t，t≥0}的時齊轉移分布， ，記

並假定X是依機率連續的，則對每一包含x的開集 有

定義函式空間B={g：g是R上復值、有界且關於 可測的函式}，並在B上規定範數為

那么，B是線性、完備的賦范空間，即巴拿赫(Banach)空間。

對每一t≥0，記

它是定義在空間B上的一個運算元。

如果g_n，g∈B並且當 時，有

則稱函式序列{g_n}強收斂於g，記作 或

令B₀={g：g∈B，且存在極限 }，定義

則稱{R_λ，λ>0}是半群{H_t，t≥0}的預解運算元族。