《Banach空間中預解運算元族和非線性微分包含及其套用》是依託揚州大學，由凡震彬擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Banach空間中預解運算元族和非線性微分包含及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：凡震彬
- 依託單位：揚州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究譜條件下預解族的漸近性質和相應積微分包含解的漸近行為以及不變流問題。作為比運算元半群更廣泛的一類運算元族，預解族漸近性質的譜刻畫和相應積微分包含解的漸近行為以及不變流研究，不僅對完善和發展預解族理論，而且對有著廣泛套用的積微分包含理論都具有十分重要的理論意義。本項目將重構Contour積分方法，結合譜分析、運算元理論以及非線性分析的思想和方法，研究全局譜條件下預解運算元的穩定性和遍歷性理論；利用局部單一譜方法和不變子空間技巧，研究局部單一譜條件下預解軌的局部穩定性和局部遍歷性理論；建立發展預解族方法，研究非線性積微分包含在譜條件下解的概周期性等漸近性質；研究預解族的緊性刻畫，並利用逐段構造方法和整體逼近思想，分別研究具初始條件和具非局部條件積微分包含的不變流問題。本項目預期結果對進一步完善和發展預解運算元族理論和微分包含理論及其套用具有十分重要的意義。
結題摘要
Banach空間中預解運算元族理論和非線性微分包含理論是泛函分析研究的重要課題和研究熱點，其在微分方程、控制論等領域有著廣泛的套用。通過重構Contour積分路徑和Rescaling技巧給出了解析預解運算元在譜條件下幾乎指數穩定和指數穩定的充分條件。在全局譜條件下，利用Hilbert空間理論、預解運算元理論和調和分析方法，給出了預解運算元族一致穩定的GGP型定理和弱L^p型定理。通過構造新的運算元值函式，給出了Banach空間中預解族強穩定的ABLV型定理。利用空間直和分解和運算元理論，獲得了無界預解運算元族的Abel遍歷和Cesaro平均遍歷的充分條件。部分結果本質上推廣了半群情形的穩定性結論。 建立並發展了預解運算元族理論，特別是證明了預解運算元族的從屬原理，同時引入加權時滯條件解決Riemann-Liouville分數階時滯發展系統在零點處的奇異性，給出了相應發展系統解集的拓撲刻畫，進一步獲得了擾動項失去Lipschitz條件時該系統的逼近可控性。通過兩次極小化序列方法獲得了非線性項失去Lipschitz條件時相應系統的Lagrange最優控制和時間最優控制的存在性。同時，運用緊性方法去掉了時間最優控制問題中狀態空間的自反性條件。上述結果本質上改進並推廣了已知的結論。利用測度理論，證明了偽概自守函式的複合定理，由此給出了一類半線性分數階微分方程的偽概周期解和偽概自守解存在唯一的條件。利用逐步構造近似解的方法，證明了當相關半群為緊半群，擾動函式為Caratheodory型時，不變流存在的充要條件是切條件幾乎處處成立。還得到了當初始值在區間內部時，一類非線性Caputo分數階微分方程不變流存在的一個充分條件是切條件成立。極大正則性和離散極大正則性是偏微分方程和數值分析理論中的重要概念和研究熱點。利用預解理論和分析技巧獲得了Caputo型分數階柯西問題在加權Holder空間中的適定性和極大正則性，並通過細緻的離散化逼近方法和計算技巧得到了隱式和顯式差分格式解的存在性，進一步利用一些精細的估計以及變換技巧獲得了相應的解在離散L^p空間中的極大正則性和穩定性。另外，還獲得了一類Yang-Baxter型矩陣方程在譜條件下解的存在性和表示。
