《抽象空間上非線性微分包含及其套用》是依託揚州大學，由李剛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：抽象空間上非線性微分包含及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李剛
- 依託單位：揚州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
o.Banach空間上的非線性微分包含是非線性分析理論中非常活躍的一個分支,近幾十年來, 隨著微分包含理論的日漸成熟及其廣泛的實踐套用，它已交叉滲透進許多科學領域，例如數學物理上的反應-擴散問題，控制論上的最最佳化問題，甚至工程問題，經濟問題等越來越多的領域中涉及的問題都可以轉化為微分包含問題.我們通過綜合套用線性運算元理論和Banach空間幾何理論與非線性分析的方法研究Banach空間上若干非線性微分包含的解的存在性理論以及在控制學科等方面的套用，研究半線性非局部微分包含解的存在性理論，引入新的方法和技巧研究可控性微分包含解的存在性問題，研究二階微分包含的邊界值問題。通過套用我們自己的一些方法和技巧，研究非Lipschitzian可逆拓撲運算元半群的遍歷理論和漸近行為，不動點問題和非擴張壓縮的存在性問題，進一步探討可逆半群的非擴張的Sunny壓縮的充要條件。
結題摘要
抽象空間上的非線性運算元半群理論和非線性微分包含以及分數階微分方程是非線性（線性）分析理論中非常活躍並且具有很強套用背景的的一個分支。近幾十年來, 隨著微分包含理論的日漸成熟及其廣泛的實踐套用，它已交叉滲透進許多科學領域，例如數學物理上的反應—擴散問題，不變流問題、非線性發展方程、正解的存在性理論、控制論、最最佳化等諸多問題中。 結合Banach空間幾何理論和線性運算元理論，我們研究了抽象連續函式空間中與線性運算元半群有關的一類有界子集的等度連續模與其截口的Hausdorff非緊測度之間的關係，並由此得到當半群失去緊性及等度連續性時，Banach空間中半線性非局部時滯方程適度解的存在性。 利用Kato逼近的方法，我們研究了Banach空間中由m增生運算元控制的無窮時非線性發展方程強解的存在唯一性。利用構造近似解逐步逼近的方法，我們證明了Banach空間中半線性無窮時滯微分方程不變流存在的條件。 利用同樣的方法，我們還得到了當初始值在區間內部時，非線性Caputo分數階微分方程不變流存在的條件。 為了克服Riemann-Liouville分數階微分方程當初始值非零時解無界的困難，我們引入了加權時滯的概念， 利用非緊測度理論及相關的不動點定理，我們得到了Banach空間中加權無窮時滯Riemann-Liouville 分數階微分方程適度解的存在性和連續依賴性。為研究解析預解族的指數穩定性，我們引入了預解族幾乎指數穩定的概念。由此通過重構Contour積分路徑和Rescaling技巧給出了解析預解運算元在譜條件下幾乎指數穩定的充分條件。特別地，我們獲得了在全局譜條件下，解析預解運算元指數穩定的充分條件。這些結果推廣了解析半群穩定性的經典結論，並說明了解析預解和解析半群指數穩定的不同之處。我們通過最最佳化的必要條件構造出控制函式，證明了線上性系統近似可控的情況下，Hilbert空間中一非線性混合分數階鬆弛方程在這一控制函式作用下也是近似可控的。利用測度理論，我們給出了偽概自守函式的複合定理，並由此給出了由預解運算元控制的半線性微分方程解的偽概自守性質。
