抽象空間微分方程

巴拿赫空間中的微分方程。是常微分方程理論在無限維空間中的發展,研究可數無窮個常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空間或希爾伯特空間的理論。它也是用常微分方程的思想和方法,研究偏微分方程的重要工具。

基本介紹

  • 中文名:抽象空間微分方程
  • 理論:在無限維空間中的發展
  • 需要:巴拿赫空間
  • 也是:研究偏微分方程的重要工具
方程介紹,計算方法,

方程介紹

巴拿赫空間中的微分方程。是常微分方程理論在無限維空間中的發展,研究可數無窮個常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空間或希爾伯特空間的理論。它也是用常微分方程的思想和方法,研究偏微分方程的重要工具。

計算方法

Χ是巴拿赫空間,DΧ中的開集,J是實軸上的開區間,函式ƒ∶J×DΧ是連續的。微分方程 k=1,2,3,4....  (1)
是常微分方程組在巴拿赫空間X 中的自然推廣。設開區間(α,β)嶅Jφ:(α,β)→Χ是強可微的,並且在開區間(α,β)中成立恆等式就稱 x=φ(t)是微分方程(1)的解。
抽象空間微分方程
解的存在性 當ƒ關於 x滿足李普希茨條件(見常微分方程初值問題)時,利用逐次逼近法可以證明:對於給定的初值(t0,x0)∈J×D,微分方程(1)滿足初值條件
(2)的解存在且唯一。然而,和常微分方程組的情形不同,僅有ƒ 的連續性不足以保證微分方程(1)滿足初值條件(2)的解的存在性。例如,設с0表示滿足 的數列全體所成的空間,它的元素x的範數(見巴拿赫空間)為‖x‖=sup│xk│。 在空間с0中考察含無窮個方程的常微分方程組 (3)初值條件為   (4)顯然,(3)的右端ƒ是с0上的連續函式。但是,在с0中不存在方程(3)滿足初值條件(4)的解。為了推廣柯西—皮亞諾定理(見常微分方程初值問題)到巴拿赫空間中的微分方程(1),需要利用有界集的非緊性測度。設B是有界集,它的非緊性測度是α(B)=inf{d>0:能用有限個直徑小於d的集覆蓋B}。如果ƒ:J×D→Χ連續,並且對於D的任一有界子集B 成立關係式 α(ƒ(J,B))≤ω(α(B)),其中ω:【0,+)→【0,+)連續,而常微分方程的以(t0,0)為初值的唯一解是ρ 呏0;那么微分方程(1)以(t0,x0)∈J×D為初值的解是存在的。它的證明需要利用紹德爾不動點定理(見不動點理論)。  許多有關常微分方程組的定理,諸如初值問題解的唯一性定理等,都可移到巴拿赫空間中的微分方程(1)。  線性方程  當ƒ(t,x)呏A(t)x+b(t)時,方程(1)成為線性方程 (5)M.Γ.克列因、J.L.馬塞拉等曾討論A:J→L(Χ),b∶J→Χ連續的情形,其中L(Χ)表示 X上有界線性運算元(見線性運算元)。這時,方程(5)以(t0,x0)∈J×D為初值的解存在且唯一,並且在J上成立常數變易公式 式中U(t,s)∈L(Χ),滿足關係:U(t,τ)U(τ,s)呏U(t,s),U(s,s)呏I和稱 U(t,s)是相應於(5)的發展運算元。特別,當A(t)呏A是Χ上的線性有界運算元時,克列因還討論了A(·)具有周期ω的情形,推廣了周期係數線性常微分方程組的理論。對於非線性微分方程 (6)假設g:J×Χ→Χ連續, J=【0,+),人們還討論了零解的穩定性,推廣了A.M.李亞普諾夫關於穩定性的有關結果(見常微分方程運動穩定性理論)。  但是,對於偏微分方程,例如熱傳導方程 (7)不能化為具有有界運算元A(t)的線性方程(5)。若以 H姲表示區間【0,1】上一階導數平方可積且在0和1取值為0的實連續函式全體當賦以範數 時所構成的希爾伯特空間,又記x(t)=u(t,·),b(t)=b(t,·),而當u(s)二階導數平方可積時,那么(7)可以化為Χ =H姲上的線性方程     (8)但這裡,A是 H姲上的無界線性運算元。因此,在無限維空間中有必要研究A為無界運算元時的線性方程(8)。  設線性運算元A的定義域D(A)是Χ中的稠密集,A還是閉運算元,如果當λ>β時A的預解運算元(λI-A)-1(見線性運算元)是Χ上的有界線性運算元,並且成立不等式 其中M>0是常數,那么根據希爾-吉田耕作定理,A是Χ上的線性有界運算元半群T(t)(t≥0)的母元。如果 b:J→Χ強可微,可以證明:常數變易公式 (9)給出微分方程(8)的解。由它可得熱傳導方程、波動方程等解的公式。當b:J→Χ是博赫納可積時,表達式(9)的右端是強連續的,稱為(8)的軟解。  加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等還討論了A(t)是Χ上的無界線性運算元時的微分方程(5),給出了發展運算元U(t,s)存在以及常數變易公式成立的條件。  為適應非線性拋物型偏微分方程理論、分布參數系統、控制理論等的需要,人們又進一步討論了半線性發展方程 (10)式中A(t)是Χ上的無界線性運算元,ƒ:J×D →Χ是連續的;還研究了非線性壓縮半群所產生的非線性方程。  在抽象空間微分方程研究中,除解的存在性、唯一性、解對初值的連續性、常數變易公式外,還有人研究周期解的存在性、唯一性,解的穩定性,分歧現象等等問題,並且研究解的全局結構、高階微分方程等。  關於解的概念,除前述的以強導數為依據的解的概念外,還有以弱導數為基礎的弱解的概念等。

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