基本介紹
- 中文名：抽象空間微分方程
- 理論：在無限維空間中的發展
- 需要：巴拿赫空間
- 也是：研究偏微分方程的重要工具
方程介紹,計算方法,
方程介紹
計算方法
設Χ是巴拿赫空間，D是Χ中的開集，J是實軸上的開區間，函式ƒ∶J×D→Χ是連續的。微分方程 k=1,2,3,4.... （1）
是常微分方程組在巴拿赫空間X 中的自然推廣。設開區間（α,β）嶅J，φ:（α，β）→Χ是強可微的，並且在開區間（α，β）中成立恆等式就稱 x=φ（t）是微分方程（1）的解。
解的存在性 當ƒ關於 x滿足李普希茨條件（見常微分方程初值問題）時，利用逐次逼近法可以證明：對於給定的初值（t0,x0）∈J×D，微分方程（1）滿足初值條件
（2）的解存在且唯一。然而,和常微分方程組的情形不同,僅有ƒ 的連續性不足以保證微分方程（1）滿足初值條件（2）的解的存在性。例如，設с0表示滿足 的數列全體所成的空間,它的元素x的範數（見巴拿赫空間）為‖x‖=sup│xk│。 在空間с0中考察含無窮個方程的常微分方程組 （3）初值條件為 （4）顯然，（3）的右端ƒ是с0上的連續函式。但是,在с0中不存在方程（3）滿足初值條件（4）的解。為了推廣柯西—皮亞諾定理（見常微分方程初值問題）到巴拿赫空間中的微分方程（1），需要利用有界集的非緊性測度。設B是有界集,它的非緊性測度是α（B）=inf{d>0：能用有限個直徑小於d的集覆蓋B}。如果ƒ:J×D→Χ連續,並且對於D的任一有界子集B 成立關係式 α（ƒ（J，B））≤ω（α（B）），其中ω:【0,+）→【0,+）連續,而常微分方程的以（t0,0）為初值的唯一解是ρ 呏0；那么微分方程（1）以（t0，x0）∈J×D為初值的解是存在的。它的證明需要利用紹德爾不動點定理（見不動點理論）。 許多有關常微分方程組的定理，諸如初值問題解的唯一性定理等,都可移到巴拿赫空間中的微分方程（1）。 線性方程 當ƒ（t,x）呏A（t）x+b（t）時，方程（1）成為線性方程 （5）M.Γ.克列因、J.L.馬塞拉等曾討論A:J→L（Χ）,b∶J→Χ連續的情形，其中L（Χ）表示 X上有界線性運算元（見線性運算元）。這時，方程（5）以（t0,x0）∈J×D為初值的解存在且唯一，並且在J上成立常數變易公式 式中U（t,s）∈L（Χ），滿足關係:U（t,τ）U（τ,s）呏U（t,s），U（s,s）呏I和稱 U（t,s）是相應於（5）的發展運算元。特別,當A（t）呏A是Χ上的線性有界運算元時,克列因還討論了A（·）具有周期ω的情形，推廣了周期係數線性常微分方程組的理論。對於非線性微分方程 （6）假設g:J×Χ→Χ連續， J=【0,+）,人們還討論了零解的穩定性，推廣了A.M.李亞普諾夫關於穩定性的有關結果（見常微分方程運動穩定性理論）。 但是，對於偏微分方程，例如熱傳導方程 （7）不能化為具有有界運算元A（t）的線性方程（5）。若以 H姲表示區間【0,1】上一階導數平方可積且在0和1取值為0的實連續函式全體當賦以範數 時所構成的希爾伯特空間，又記x（t）=u（t，·）,b（t）=b（t,·）,而當u（s）二階導數平方可積時,那么（7）可以化為Χ =H姲上的線性方程 （8）但這裡，A是 H姲上的無界線性運算元。因此，在無限維空間中有必要研究A為無界運算元時的線性方程（8）。 設線性運算元A的定義域D（A）是Χ中的稠密集,A還是閉運算元，如果當λ>β時A的預解運算元（λI-A）-1（見線性運算元）是Χ上的有界線性運算元，並且成立不等式 其中M>0是常數，那么根據希爾-吉田耕作定理,A是Χ上的線性有界運算元半群T（t）（t≥0）的母元。如果 b:J→Χ強可微，可以證明：常數變易公式 （9）給出微分方程（8）的解。由它可得熱傳導方程、波動方程等解的公式。當b:J→Χ是博赫納可積時,表達式（9）的右端是強連續的，稱為（8）的軟解。 加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等還討論了A（t）是Χ上的無界線性運算元時的微分方程（5），給出了發展運算元U（t,s）存在以及常數變易公式成立的條件。 為適應非線性拋物型偏微分方程理論、分布參數系統、控制理論等的需要，人們又進一步討論了半線性發展方程 （10）式中A（t）是Χ上的無界線性運算元,ƒ：J×D →Χ是連續的；還研究了非線性壓縮半群所產生的非線性方程。 在抽象空間微分方程研究中，除解的存在性、唯一性、解對初值的連續性、常數變易公式外，還有人研究周期解的存在性、唯一性，解的穩定性，分歧現象等等問題，並且研究解的全局結構、高階微分方程等。 關於解的概念，除前述的以強導數為依據的解的概念外，還有以弱導數為基礎的弱解的概念等。
