泛函微分方程

泛函微分方程(functional differential equation)是帶有各種滯後量的微分方程(微分差分方程)、各種具有複雜變元的微分方程、帶有滯後量的積分微分方程等一類方程的概括和抽象。

早在1750年歐拉所提出來的“求一曲線使之與其漸縮線相似”的問題就屬於最早的泛函微分方程問題，所求的曲線就滿足一個特殊的泛函微分方程。以後在各個學科中不斷地提出相類似的問題，因此對泛函微分方程的研究具有重要的實際意義。20世紀40年代以前，人們圍繞微分差分方程的解析解開展了許多工作。20世紀50年代以後，轉向穩定性理論的研究。原蘇聯數學家克拉索夫斯基和日本數學家加藤敏夫等在這方面都有重要貢獻。

基本介紹

• 中文名：泛函微分方程
• 外文名：functional differential equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：常微分方程(泛函微分方程)
• 別名：微分差分方程、時滯微分方程
• 相關概念：時滯，常微分方程等
• 相關人物：歐拉、克拉索夫斯基、加藤敏夫等

基本介紹

泛函微分方程又叫微分差分方程、時滯微分方程等，一般形如

或

其中 ，叫做時滯。顧名思義，時滯是滯後於現時t的時間量，但根據問題需求，可推廣到超前時滯、無窮時滯等，其方程形式也已發展出多種，其中最有名是中性方程(neutral diferential equations)，泛函微分方程通常被認為就是含有時滯因素的常微分方程，泛函微分方程應該算是對常微分方程概念的一種擴展，其內涵包括了不含時滯的常微分方程，還有以下幾種方程。

(1)含有時間滯後項的微分方程（滯後型）：

(2)含有時間超前項的微分方程（超前型）：

(3)方程最高階導數項含有時滯的微分方程（中立型）：

當然，也有一些不能簡單分類的泛函微分方程，如

另外還有變時滯的微分方程，如 ，其中 可以比t大，也可以比t小。在針對實際問題建立微分方程模型時，我們可以根據需要將不同時刻的狀態影響添加到模型中來，這樣不僅使得模型更加貼近現實、更具合理性，還可以增加若干個對現實問題的調控手段。

泛函微分方程通常無法給出通解的解析表達式，一般只能在給出具體參數後，利用各種數學軟體求出其數值解。以滯後型方程(1)為例，給定初始條件

可以先求出初始解的一段，即

求 時的解，可以這樣一段一段進行積分。

實際上，當研究人員考慮建立時滯微分方程模型時，他們的主要目的是了解方程中含有的各項參數發生變化時，方程解的幾何性態會發生怎洋的變化；或者說，方程中含有的參數、函式表達式滿足哪些條件時，方程的解才會表現出特定的性態。這些領域一直是理論研究的熱點，每年都會有大量的新成果湧現。

由於泛函微分方程中時滯變數的引入，使得這類模型所反應的問題更為確切，所以其套用也很廣，諸如經濟學、生態學、病理學、電子學、氣象學等都有套用。不過顯然它的求解要比解經典的常微分方程難，或說它的解理論不如經典的常微分方程成熟，這又反過來影響了它套用推廣的速度和廣度。

泛函微分方程的發展

泛函微分方程是含有偏差變元的微分方程，是微分方程理論的一個重要分支。含有導數的泛函方程(或稱函式方程)稱為泛函微分方程。從套用角度來看，動力學系統中的時滯現象通常是不可避免的，即使以光速傳遞的信息也不例外。在可以略去時滯的情形則以常微分方程為數學模型，此時系統的未來狀態僅取決於初始的瞬間狀態而和過去的歷史無關。在不允許略去滯量的情形就必須以滯後型差分微分方程或者更普遍的泛函微分方程為數學模型，例如方程

其中 稱為滯量，這時初值問題不僅要考慮系統狀態的瞬間初值，而且要顧及歷史的狀況，到20世紀50年代末為止，主要是把常微分方程的各種結果儘可能直接推廣到滯後型差分微分方程上去，其中主要是解的存在惟一性，解對初始數據的連續依賴性，初等積分法(分步法)，線性自治系統特徵根的分布及其與穩定性的關係，在拉茲密辛條件下推廣李亞普諾夫第二方法等，但解映射 只限於認定是C→Rⁿ。1959年，克拉索夫斯基(Н.Н.Красовский)提出把軌線段

視為空間 的元，把解映射T(t，σ)：C→C定義為T(t，σ)φ=x_t(σ，φ)，於是滯後型泛函微分方程可寫成

其中 是右導數，習慣簡記為RFDE(f)。由於右端運算元可取種種形式，所以它是在廣泛基礎上的概括。20世紀60年代確立了(1)的基本理論，和李亞普諾夫泛函方法下的穩定性理論等(參見“李亞普諾夫泛函方法”)。對方程中最高階導數也出現偏差變元的方程(參見“中立型泛函微分方程”)，如

長期以來只是形式上的推廣，但1976年開始有大量的套用背景被發現，主要是控制理論、博弈論、遺傳學、細胞的生化機理以及物理學中的種種套用問題。例如，布萊頓(R.Brayton)在研究信息無損傳輸網路時便提出一類中立型方程。1971年，霍爾(J.Hall)與克魯茲(M.A.Cruz)從中劃分出一類方程

稱為運算元型中立型泛函微分方程，簡記為NFDE(D，f)，D稱為差分運算元，如

可以把(1)的基本理論、穩定性理論等都方便地推廣到(2)上去，因為初始函式空間也是C而不必限制在C¹上，對 是無界連續函式以及滯量在無窮區間上連續分布的泛函微分方程，可以概括為(1)和(2)型的無窮時滯系統，記號完全一樣，但需要用一系列公理來限定初始數據空間。嚴格的定義與基本理論是由霍爾與加藤順二(J.Kato)於1978年共同確立的，有限時滯系統的種種已知結果都在一定條件下推廣到無窮時滯系統。

傳統的泛函微分方程有三類：滯後型是理論的主體，其次是中立型，超前型只有少量研究工作.研究課題除基本理論和穩定性理論以外，還涉及解的振動性、周期解與概周期解的存在性、邊值問題、數值解、線性系統理論以及攝動方法的套用等。滯後型、中立型、超前型方程分別略稱為R型、N型、A型方程。

20世紀80年代以來，各類套用學科中提出大量新型泛函微分方程，它們是現有泛函微分方程理論所無法概括的，統稱為非R，N，A方程，包括：

1.混合型方程，指的是R，N，A型方程的某些複合形式(參見“混合型差分微分方程”)。

2.偏泛函微分方程，指的是帶有偏差變元的偏微分方程(參見“偏泛函微分方程”)。

3.複雜偏差泛函微分方程，指的是偏差依賴於未知函式及其導數的方程，如

對這些新類型泛函微分方程，有許多探索性工作，雖然完整的基本理論尚待確立，但可以預期這將是泛函微分方程未來發展的熱點之一。