相軌

相軌是泛函微分方程的重要概念。與常微分方程一樣，由抽象空間中的過程依次定義相軌及其極限集。

基本介紹

• 中文名：相軌
• 外文名：orbit 
• 適用範圍：數理科學

簡介

相軌是泛函微分方程的重要概念。與常微分方程一樣，由抽象空間中的過程依次定義相軌及其極限集。

設u是X上的一個過程，則對每一個(σ,x)∈R×X，稱集τ⁺(σ,x)={(σ+t,U(σ,t)x)|t∈R₊}為過(σ,x)∈R×X的軌道，稱集γ⁺(σ,x)={U(σ,t)x|t∈R₊}為過(σ,x)的相軌。

性質

若H⊂X，則

若{T^kx|k=0,1,2,...}是一個離散動力系統，則過x∈X的相軌為γ⁺(x)={T^kx|k=0,1,2,...}。

若u是X上的ω周期過程，則軌道τ⁺(σ+s,x)是軌道τ⁺(σ,x)沿實數軸做長度為kω的平移，相軌γ⁺(σ+kω,x)=γ⁺(σ,x)對任意整數k成立。若u是X上的動力系統，則軌道τ⁺(σ+s,x)是軌道τ⁺(σ,x)沿實軸做長度為s的平移且對∀σ∈R，γ⁺(σ,x)=γ⁺(0,x)=γ⁺(x)。

極限集

設u是X上的一個過程，則集合

分別稱為相軌Y⁺(σ,x)的ω極限集和Y^-(α,x)的α極限集，其中Y⁺(σ,x)={U(σ,t)x|t∈R₊}，Y^-(α,x)={U(σ,t)x|t∈R_-}。

若Y⁺(σ,x)是予緊的，則ω(σ,x)存在，非空，單連通而且是緊的，並且dist(U(σ,t)x,ω(σ,x))→0(t→+∞)。同理，若Y^-(σ,x)是予緊的，則α(σ,x)存在，非空，單連通而且是緊的，當t→-∞時dist(U(σ,t)x,α(σ,x))→0。