里斯表示定理

這個定理建立了希爾伯特空間與它的對偶空間的一個重要聯繫：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯。

基本介紹

• 中文名：里斯表示定理
• 外文名：Riesz Representation Theorem
• 所屬學科：泛函分析

定義

給定賦范空間H中向量η，則H的對偶空間H*中連續線性泛函f可唯一表示為

該映射 是一個反線性等距同構。

希爾伯特空間

這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。

設是一個希爾伯特空間，令表示它的對偶空間，由從到域或的所有連續線性泛函。如果 是中一個元素，則函式定義為

是的一個元素，這裡 表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言中任何元素都能惟一地寫成這種形式。

定理：映射

是一個等距（反）同構，這就是說：

是雙射。

的範數與的範數相等：。

可加：。

如果底域是，則 對所有實數。

如果底域是，則對所有複數，這裡表示的復共軛。

的逆映射可以描述為： 給定中一個元素，核的正交補是的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素，令 。則 Φ(x) = φ。

歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算 ，可以構造有界變差函式 ，使得無論連續函式是什麼，都有 ”

在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右矢 有一個相應的左矢，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間，里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

Cc(X) 上線性泛函

下面的定理表示出 C_c(X) 上的正線性泛函，緊支集連續復值函式空間。下面所說的博雷爾集表示由開集生成的σ代數。

局部緊豪斯多夫空間X上一個非負可數可加博雷爾測度 μ 是正則的（regular）若且唯若

• μ(K) < ∞ 對所有緊集K；
• 對每個博雷爾集E，

開 }.

• 關係成立只要E是開集或者E是博雷爾集且 μ(E) < ∞。

緊 }

定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對C_c(X)上任何正線性泛函ψ，X上存在唯一的正則機率測度μ使得

對所有f∈ C_c(X)。

領略測度論的一個途徑是從拉東測度開始，其可定義為上的一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取；這裡顯然假設X首先是一個拓撲空間，而不僅是一個集合。若X為局部緊空間，則可重新建立一個積分理論。

局部緊豪斯多夫空間

下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理，給出了C₀(X)的對偶空間的一個具體實現，C₀(X)由X上在無窮遠趨於零的連續函式構成。定理陳述中的博雷爾集同樣指由開集生成的 σ代數。結論與上一節類似，但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。

如果μ是一個復值可數可加博雷爾測度，μ 是正則的若且唯若非負可數可加測度 |μ| 正則（上一節所定義的）。

定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 C₀(X)上任何有界線性泛函ψ，存在X上唯一正則機率測度μ使得對所有f∈C₀(X)，均有

ψ 的範數作為線性泛函是 μ 的全變差（total variation），即

最後，ψ是正的若且唯若測度μ是非負的。

註：C_c(X)上任何有界線性泛函惟一延拓為C₀(X)上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是C_c(X) 上一個無界正線性泛函不能延拓為C₀(X) 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論套用的情形稍微不同。