里斯表示定理

這個定理建立了希爾伯特空間與它的對偶空間的一個重要聯繫:如果底實數,兩者是等距同構;如果域是複數,兩者是等距反同構。在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理(Riesz representation theorem),它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯

基本介紹

  • 中文名:里斯表示定理
  • 外文名:Riesz Representation Theorem
  • 所屬學科泛函分析
定義,希爾伯特空間,Cc(X) 上線性泛函,局部緊豪斯多夫空間,

定義

給定賦范空間H中向量η,則H的對偶空間H*中連續線性泛函f可唯一表示為
該映射
是一個反線性等距同構

希爾伯特空間

這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫:如果底域是實數,兩者是等距同構;如果域是複數,兩者是等距反同構。如下所述,(反)同構是特別自然的。
是一個希爾伯特空間,令
表示它的對偶空間,由從
到域
的所有連續線性泛函。如果
中一個元素,則函式
定義為
的一個元素,這裡
表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言
中任何元素都能惟一地寫成這種形式。
定理:映射
是一個等距(反)同構,這就是說:
雙射
的範數與
的範數相等:
可加:
如果底域是
,則
對所有實數
如果底域是
,則
對所有複數
,這裡
表示
的復共軛
的逆映射可以描述為: 給定
中一個元素
,核
正交補
的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素
,令
。則 Φ(x) = φ。
歷史上,通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現(見參考文獻)。格雷(Gray)在評論從他認為是原型的里斯(1909)一文到里斯表示定理的發展時說:“給定運算
,可以構造有界變差函式
,使得無論連續函式
是什麼,都有
量子力學的數學處理中,這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時,每個右矢
有一個相應的左矢
,對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間,比如核空間,里斯表示定理不成立,在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

Cc(X) 上線性泛函

下面的定理表示出 Cc(X) 上的正線性泛函,緊支集連續復值函式空間。下面所說的博雷爾集表示由開集生成的σ代數。
局部緊豪斯多夫空間X上一個非負可數可加博雷爾測度 μ 是正則的(regular)若且唯若
  • μ(K) < ∞ 對所有緊集K
  • 對每個博雷爾集E
}.
  • 關係成立只要E是開集或者E是博雷爾集且 μ(E) < ∞。
}
定理:設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對Cc(X)上任何正線性泛函ψ,X上存在唯一的正則機率測度μ使得
對所有f∈ Cc(X)。
領略測度論的一個途徑是從拉東測度開始,其可定義為
上的一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取;這裡顯然假設X首先是一個拓撲空間,而不僅是一個集合。若X為局部緊空間,則可重新建立一個積分理論。

局部緊豪斯多夫空間

下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理,給出了C0(X)的對偶空間的一個具體實現,C0(X)由X上在無窮遠趨於零的連續函式構成。定理陳述中的博雷爾集同樣指由開集生成的 σ代數。結論與上一節類似,但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。
如果μ是一個復值可數可加博雷爾測度,μ 是正則的若且唯若非負可數可加測度 |μ| 正則(上一節所定義的)。
定理:設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 C0(X)上任何有界線性泛函ψ,存在X上唯一正則機率測度μ使得對所有f∈C0(X),均有
ψ 的範數作為線性泛函是 μ 的全變差(total variation),即
最後,ψ是的若且唯若測度μ是非負的。
註:Cc(X)上任何有界線性泛函惟一延拓為C0(X)上有界線性泛函,因為後一個空間是前者的閉包。但是Cc(X) 上一個無界正線性泛函不能延拓為C0(X) 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論套用的情形稍微不同。

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