里斯定理

在泛函分析中，有多個有名的定理冠以里斯定理，又稱里斯表示定理（Riesz representation theorem），它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯。

基本介紹

• 中文名：里斯定理
• 外文名：Riesz representation theorem

希爾伯特空間表示定理

這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。

設 是一個希爾伯特空間，令 表示它的對偶空間，由從 到域 或 的所有連續線性泛函。如果 是 中一個元素，則函式 定義為

是 的一個元素，這裡 表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言 中任何元素都能惟一地寫成這種形式。

定理：映射

是一個等距（反）同構，這就是說：

是雙射。

的範數與 的範數相等： 。

可加： 。

如果底域是 ，則 對所有實數 。

如果底域是 ，則 對所有複數 ，這裡 表示 的復共軛。

的逆映射可以描述為： 給定 中一個元素 ，核 的正交補是H的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素，令 。則 。

歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算 ，可以構造有界變差函式 ，使得無論連續函式 是什麼，都有

在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右括弧 有一個相應的左括弧 ，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間（Kernel space），里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

Cc(X) 上線性泛函的表示定理

下面的定理表示出 上的正線性泛函，緊支集連續復值函式空間。下面所說的波萊爾集表示由開集生成的σ-代數。

局部緊豪斯多夫空間 上一個非負可數可加波萊爾測度是正規的若且唯若

對所有緊集；

對每個波萊爾集，

關係

成立只要是開集和是波萊爾集且 。

定理：設是一個局部緊豪斯多夫空間。對 上任何正線性泛函ψ，在上存在惟一的波萊爾正則測度 使得

對所有 。

進入測度論的一個途徑是從拉東測度開始，定義為 上一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取；這裡顯然假設首先是一個拓撲空間，而不僅是一個集合。對局部緊空間，重新得到了一個積分理論。

C0(X) 的對偶空間的表示定理

下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理，給出了 的對偶空間的一個具體實現， 上在無窮遠趨於零的連續函式。定理陳述中的波萊爾集契約樣指由開集生成的 σ-代數。結論與上一節類似，但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。

如果 是一個復值可數可加波萊爾測度， 是正則的若且唯若非負可數可加測度 | | 正則（上一節所定義的）。

定理：設是一個局部緊豪斯多夫空間。對 上任何連續線性泛函ψ，存在 上惟一正則可數可加波萊爾測度 使得

對所有 。ψ 的範數作為線性泛函是 的全變差（total variation），即

最後，ψ 是正的若且唯若測度 是非負的。

注： 上任何有界線性泛函惟一延拓為 上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是 上一個無界正線性泛函不能延拓為 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論套用的情形稍微不同。